組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $=\displaystyle \frac{n+1}{r+1}{}_n \mathrm{C}_{r}$ の証明
組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $=\displaystyle \frac{n+1}{r+1}{}_n \mathrm{C}_{r}$ を証明してみよう。
公式
$n \geq 0$, $0 \leq r \leq n$ のとき,
${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $=\displaystyle \frac{n+1}{r+1}{}_n \mathrm{C}_{r}$
証明.
組合せ ${}_n\mathrm{C}_r$ の定義は
${}_n\mathrm{C}_r$ $\displaystyle =\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}$
であった. また,
${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $\displaystyle =\frac{(n+1)!}{((n+1)-(r+1))! \cdot (r+1)!}$
$\displaystyle =\frac{(n+1)!}{(n-r)! \cdot (r+1)!}$
である.
$\displaystyle \frac{n+1}{r+1}{}_n \mathrm{C}_{r}$ $\displaystyle =\frac{(n+1)!}{(n-r)! \cdot (r+1)!}$ $={}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ である.
ゆえに, ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $= {}_n\mathrm{C}_{r}$ $+ {}_n\mathrm{C}_{r+1}$ が成り立つ.
${}_6\mathrm{C}_{2}$ $\displaystyle =15$
であり,
$\displaystyle \frac{7}{3} \times {}_6 \mathrm{C}_{2}$ $\displaystyle = \frac{7}{3} \times 15$ $=21$
である。
${}_7\mathrm{C}_{3}$ $\displaystyle =21$
であり, 公式は成立する。
