組合せに関する公式 ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ の証明
組合せに関する公式 ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ を証明してみよう。
公式
$n \geq 0$, $0 \leq r \leq n$ のとき,
${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$
証明.
組合せ ${}_n\mathrm{C}_r$ の定義は
${}_n\mathrm{C}_r$ $\displaystyle =\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}$
であった.
一方で, ${}_n\mathrm{C}_{n-r}$ については,
${}_n\mathrm{C}_{n-r}$ $\displaystyle =\frac{n!}{(n-(n-r))! \cdot (n-r)!}$ $\displaystyle =\frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$
である.
ゆえに, ${}_n\mathrm{C}_{r} = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ が成り立つ.
${}_6\mathrm{C}_{2}$ $\displaystyle =\frac{6!}{(6-2)!\cdot 2!}$
であり,
${}_6\mathrm{C}_{4}$ $\displaystyle =\frac{6!}{(6-4)!\cdot 4!}$ $\displaystyle =\frac{6!}{2!\cdot 4!}$
である。よって,
${}_6\mathrm{C}_2 = {}_6\mathrm{C}_4$
である。
