$(p\pm \sqrt{q})^n$ の係数の数列とその一般項
$\displaystyle (p+\sqrt{q})^n = a_n + b_n \sqrt{q}$ と表した時の数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ について理解してみよう。
命題
$p$ と $q$ を正の定数とする. 任意の自然数 $n$ について,
$\displaystyle (p+\sqrt{q})^n = a_n + b_n \sqrt{q}$
と表すと,
$\displaystyle (p-\sqrt{q})^n = a_n - b_n \sqrt{q}$
であることが成り立つ. (この逆も成り立つ.)
系（係数の数列の一般項）
上の数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項は,
$\displaystyle a_n = \frac{1}{2}\{(p+\sqrt{q})^n + (p-\sqrt{q})^n\}$
$\displaystyle b_n = \frac{1}{2\sqrt{q}}\{(p+\sqrt{q})^n - (p-\sqrt{q})^n\}$
である.
証明.
数学的帰納法で証明する. (逆の証明は割愛する.)
$n=1$ のとき,
$(p+\sqrt{q})^1 = 1+ \sqrt{q}$
$(p-\sqrt{q})^1 = 1- \sqrt{q}$
であるから, $a_1 = b_1=1$ でそれぞれの式の係数は等しい. よって, このとき主張は成り立つ.
次に $n \in \mathbb{N}$ のときに, 主張が成り立つことを仮定して, $n+1$ のときも主張が成り立つことを示す.
$(p+\sqrt{q})^{n+1}$
$=(p+\sqrt{q})(p+\sqrt{q})^n$
$=(p+\sqrt{q})(a_n + b_n \sqrt{q})$
$=(pa_n+q)+(a_n+pb_n)\sqrt{q}$
ゆえに, $a_{n+1} = pa_n+q$, $b_{n+1} = a_n+pb_n$ である.
一方で,
$(p-\sqrt{q})^{n+1}$
$=(p-\sqrt{q})(p-\sqrt{q})^n$
$=(p-\sqrt{q})(a_n - b_n \sqrt{q})$
$=(pa_n+q)-(a_n+pb_n)\sqrt{q}$
であり, それぞれの係数が $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ に一致している.
したがって, $n+1$ のときも主張が成り立つことが示せた.
ゆえに, 数学的帰納法から, 任意の自然数 $n$ について,
$\displaystyle (p+\sqrt{q})^n = a_n + b_n \sqrt{q}$
と表すと,
$\displaystyle (p-\sqrt{q})^n = a_n - b_n \sqrt{q}$
であることが成り立つことが示せた.
系の証明.
命題で得た２つの式を連立して, $b_n$ を消去することで $\{a_n\}$ の一般項が得られ, $a_n$ を消去することで $\{b_n\}$ の一般項が得られる.
例えば,
$(1+\sqrt{2})^n$ について,
$n=1$ のとき $1+\sqrt{2}$,
$n=2$ のとき $3 + 2\sqrt{2}$,
$n=3$ のとき $7+5\sqrt{2}$
です。一方で, $(1-\sqrt{2})^n$ について,
$n=1$ のとき $1-\sqrt{2}$,
$n=2$ のとき $3 - 2\sqrt{2}$,
$n=3$ のとき $7-5\sqrt{2}$
です。どちらも正負以外は一致しており,
$a_1=1$, $b_1=1$,
$a_2=3$, $b_2=2$,
$a_3=7$, $b_3=5$
となっています。
