$(p\pm \sqrt{q})^n$ の係数の数列とその一般項

任意の自然数 $n$ について, $(p+\sqrt{q})^n = a_n + b_n \sqrt{q}$ ならば $(p-\sqrt{q})^n = a_n - b_n \sqrt{q}$ であることを証明する。

$(p+\sqrt{q})^1 = p + 1 \cdot \sqrt{q}$ より, $a_1 = p, b_1 = 1$ である。
一方で $(p-\sqrt{q})^1 = p - 1 \cdot \sqrt{q}$ となり, 係数が一致するため $n=1$ のとき主張は成り立つ。

$n=k$ のとき主張が成り立つと仮定する。すなわち, $ (p+\sqrt{q})^k = a_k + b_k \sqrt{q}$ ならば $(p-\sqrt{q})^k = a_k - b_k \sqrt{q}$ が成り立つと仮定する。

まず, $(p+\sqrt{q})^{k+1}$ を展開して $a_{k+1}, b_{k+1}$ を求める。 $$ \begin{aligned} &(p+\sqrt{q})^{k+1} \\ &\quad = (p+\sqrt{q})(a_k + b_k \sqrt{q}) \\[5pt] &\quad = pa_k + pb_k\sqrt{q} + a_k\sqrt{q} + qb_k \\[5pt] &\quad = (pa_k + qb_k) + (a_k + pb_k)\sqrt{q} \end{aligned} $$ よって, $a_{k+1} = pa_k + qb_k$, $b_{k+1} = a_k + pb_k$ である。

次に, $(p-\sqrt{q})^{k+1}$ を展開する。 $$ \begin{aligned} &(p-\sqrt{q})^{k+1} \\ &\quad = (p-\sqrt{q})(a_k - b_k \sqrt{q}) \\[5pt] &\quad = pa_k - pb_k\sqrt{q} - a_k\sqrt{q} + qb_k \\[5pt] &\quad = (pa_k + qb_k) - (a_k + pb_k)\sqrt{q} \\[5pt] &\quad = a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{q} \end{aligned} $$ となり, $n=k+1$ のときも主張は成り立つ。

以上より, 数学的帰納法によってすべての自然数 $n$ について主張が成り立つ。