複利式の数列の一般項（積立）
複利式で、毎回同額ずつを積み立てた場合の資金の変化を考えてみよう。
例えば, 年利率が $0.1(10\%)$ で $10$ (万)円を毎年積み立てた場合, $n$ 年後には $$\frac{10 \{ (1.1)^{n+1} -1\}}{0.1} \text{(万)円}$$になります。
基本の解法
利子率 $r$, 毎回の積立額 $a$ とする。複利式で $n$ 回の利子を受け取った後の元利合計は次の通り:
$\displaystyle \sum_{k=0}^n a (1+r)^k$ $\displaystyle = \frac{a}{r} \{(1+r)^{n+1} - 1 \}$
ただし, $n$ 回目の利子を受け取った回に積み立てた額も含む。
証明.
$0 \leqq k \leqq n$ とする。初回から数えて$n$ 回目の利子を受け取るとき時点では, $k$ 回目に積み立てた額 $a$ には 利子を $n-k$ 回付くため元利合計は $a(1+r)^{n-k}$ となる。
$k=0$ のときは初回に投資した $a$ を指す。初回から数えて $n$ 回目の利子を受け取る時点では, 利子が $n$ 回すべて付くため, 元利合計は $a(1+r)^{n-0} =a(1+r)^n$ となる。
$k=n$ のときは $n$ 回目の利子を受け取った時点での積立額を指す。これに利子は未だ付かないので, 元利合計は元金のままで $a(1+r)^{n-n} =a$ となる。
$n$ 回目の利子を受け取る時点での元利合計の総額は, 各回の積立額に利子が付いた額の和である。したがって, $$\sum_{k=0}^n a (1+r)^{n-k}$$ が求めるものである。
$\displaystyle \sum_{k=0}^n a (1+r)^{n-k}$ $= a(1+r)^n + \cdots + a(1+r) +a$.
$\{ a (1+r)^{n-k} \}_{0 \leqq k \leqq n}$ は等比数列である。また, $\{ a (1+r)^{k} \}_{0 \leqq k \leqq n}$ は項を足す順番を逆にした数列で初項 $a$, 公比 $1+r$ の等比数列である。等比数列の和の公式より
$\begin{aligned}
&\sum_{k=0}^n a (1+r)^{n-k} \\
&= \sum_{k=0}^n a (1+r)^{k} \\
&= \frac{a \{ (1+r)^{n+1} - 1 \}}{(1+r) - 1} \\
&= \frac{a}{r} \{ (1+r)^{n+1} - 1 \}.
\end{aligned}$
初項 $a$, 公比 $R$ の等比数列の和の公式は次の通り: $$\sum_{k=0}^n a R^{k} = \frac{a(R^{n+1} -1)}{R-1}$$
ゆえに, $n$ 回目の利子を受け取った後の積立の元利合計の総額は $$\frac{a}{r} \{ (1+r)^{n+1} - 1 \}$$ である。
複利の年利率が $0.1$ $(10\%)$, 投資額を $10$ (万)円 とします。
各年度で投資した $10$ 万円の10年間の推移を表にしました。
| 積立年度 | 投資額 | 利子を含めた10年後の金額 |
|---|---|---|
| 初年度 | 10万円 | $10(1.1)^{10}$ 万円 |
| 1年後 | 10万円 | $10(1.1)^{9}$ 万円 |
| 2年後 | 10万円 | $10(1.1)^{8}$ 万円 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| 9年後 | 10万円 | $10 \times (1.1)$ 万円 |
| 10年後 | 10万円 | $10$ 万円 |
| 合計額 | 110万円 | $185.311$ 万円 |
10年後の元利合計の総額は
$10(1.1)^{10}$ $+10(1.1)^{9}$ $+10(1.1)^{8}$ $+ \cdots$ $+10 \cdot (1.1)$ $+10$
です！
