相関係数の絶対値が１以下であることの証明

データ $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ と $y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ について, それぞれの平均を $\bar{x}$ と $\bar{y}$ とする。 次のベクトルを考える。 $\vec{x}=(x_1-\bar{x},\ldots,x_n-\bar{x})$, $\vec{y}=(y_1-\bar{y},\ldots,y_n-\bar{y})$

相関係数 $r$ は, 共分散を標準偏差の積で割ったものであるから, $$ \begin{aligned} &r \\ & \quad =\frac{\displaystyle \frac{1}{n}\vec{x}\cdot\vec{y}} {\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{x}|\right) \left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{y}|\right)} \\ & \quad =\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|} \end{aligned} $$ と表せる。

コーシー＝シュバルツの不等式より, $$ |\vec{x}\cdot\vec{y}| \le |\vec{x}|\,|\vec{y}| $$ が成り立つ。

上の不等式を $$ r =\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|} $$ に適用すると, $$ |r| =\frac{|\vec{x}\cdot\vec{y}|}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|} \le 1 $$ が得られる。

コーシー・シュバルツの不等式において等号が成り立つのは, $\vec{x},\vec{y}$ が一次従属のときである。 すなわち, ある実数 $a$ $(a \neq 0)$ が存在して $$ \vec{y} = a\vec{x} $$ と書ける場合である。

この式は, $1 \leq k \leq n$ の任意の自然数について, 　$$y_k - \bar{y} = a(x_k -\bar{x})$$ が成り立つことを意味する。すなわち, $$y_k = ax_k - a\bar{x} + \bar{y}$$ が成り立つ。 これは, ある実数 $a$ と $b$ を使って, データ $x,y$ の間に $$ y = ax + b \quad $$ が成り立つことに対応する。

ゆえに, 相関係数 $r$ は常に $-1 \le r \le 1$ を満たし, $|r|=1$ となるのは $y = ax + b$ が成り立つ場合に限られる。