相関係数の絶対値が１以下であることの証明
コーシー=シュバルツの不等式を使って、相関係数の絶対値が１以下であることを証明してみよう。
命題（相関係数の範囲と等号成立条件）
2つのデータ $x,y$ の相関係数を $r$ とすると,
$$
-1 \le r \le 1
$$
が成り立つ。
また,
$$
|r| = 1
$$
となるのは, $y = ax + b$（$a \neq 0$）の形の一次関係が完全に成り立つとき, かつそのときに限る。
証明
§データをベクトルで表す
データ
$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ と $y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$
について, それぞれの平均を $\bar{x}$ と $\bar{y}$ とする。
次のベクトルを考える。
$$
\vec{x}=(x_1-\bar{x},\ldots,x_n-\bar{x}),\quad
\vec{y}=(y_1-\bar{y},\ldots,y_n-\bar{y})
$$
§相関係数のベクトル表示
相関係数 $r$ は, 共分散を標準偏差の積で割ったものであるから,
$$
r
=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}\vec{x}\cdot\vec{y}}
{\displaystyle
\left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{x}|\right)
\left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{y}|\right)}
=\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|}
$$
と表せる。
§コーシー＝シュバルツの不等式を用いる
コーシー＝シュバルツの不等式より,
$$
|\vec{x}\cdot\vec{y}|
\le |\vec{x}|\,|\vec{y}|
$$
が成り立つ。
§相関係数の絶対値を評価
上の不等式を
$$
r=\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|}
$$
に適用すると,
$$
|r|
=\frac{|\vec{x}\cdot\vec{y}|}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|}
\le 1
$$
が得られる。
証明
§相関係数の定義
データ $x,y$ に対応するベクトルを $\vec{x},\vec{y}$ とすると,
相関係数 $r$ は
$$
r
=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}\vec{x}\cdot\vec{y}}
{\displaystyle
\left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{x}|\right)
\left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{y}|\right)}
=\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|}
$$
と書ける。
§コーシー・シュバルツの不等式
任意のベクトル $\vec{x},\vec{y}$ に対して,
コーシー・シュバルツの不等式
$$
|\vec{x}\cdot\vec{y}| \le |\vec{x}|\,|\vec{y}|
$$
が成り立つ。
§相関係数の範囲
上の不等式を
$|\vec{x}|\,|\vec{y}|$ で割ると,
$$
\left|\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|}\right| \le 1
$$
すなわち,
$$
|r| \le 1
$$
が得られる。
§等号成立条件
コーシー・シュバルツの不等式において等号が成り立つのは,
$\vec{x},\vec{y}$ が一次従属のときである。
すなわち, ある実数 $a$ が存在して
$$
\vec{y} = a\vec{x}
$$
と書ける場合である。
§データとの対応
ベクトルの一次従属性は, データ $x,y$ の間に
$$
y = ax + b \quad (a \neq 0)
$$
という完全な一次関係が成り立つことに対応する。
§結論
ゆえに, 相関係数 $r$ は常に $-1 \le r \le 1$ を満たし,
$|r|=1$ となるのは $y = ax + b$ の形の一次関係が完全に成り立つ場合に限られる。
§結論
以上より, 任意のデータ $x,y$ に対して,
$$
-1 \le r \le 1
$$
が成り立つ。
ゆえに, 相関係数は常に $1$ 以下である。
