内分点の公式の証明（ベクトル）

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分を, 比 $m:n$ で内分する点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ を考える。

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上の $$ \mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n $$ を満たす点である。 したがって, $$ \mathrm{AP} : \mathrm{AB} = m : (m+n) $$ が成り立つ。

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にあるため, $\overrightarrow{\mathrm{AP}} / \! / \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ であり, $$ \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}} $$ が成り立つ。

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ かつ $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \vec{p} - \vec{a}$ であるから, $$ \vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a}) $$ が成り立つ。 これを整理すると, $$ \vec{p} = \frac{ m(\vec{b} - \vec{a})}{m+n} + \vec{a} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} $$ を得る。

ゆえに, ベクトルの内分点の公式が証明できた。