内分の公式の証明（ベクトル）
ベクトルの内分の公式を証明してみよう。
内分の公式（ベクトル）
2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分を, $m:n$ で内分する点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ は,
$$
\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m+n}
$$
である。
証明（内分の公式）
点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分を,
比 $m:n$ で内分する点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ を考える。
§内分の定義
内分の定義より,
点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にあり,
$$
\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n
$$
であるため,
$$
\mathrm{AP} : \mathrm{AB} = m : (m+n)
$$
が成り立つ。
§ベクトルによる表現
点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にあるため,
$$
\overrightarrow{\mathrm{AP}}
= \frac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}
$$
となる。
§位置ベクトルの計算
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ かつ
$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \vec{p} - \vec{a}$ であるから,
$$
\vec{p} - \vec{a}
= \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a})
$$
が成り立つ。
これを整理すると,
$$
\vec{p}
= \frac{(m+n)\vec{a} + m\vec{b} - m\vec{a}}{m+n}
= \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}
$$
を得る。
§結論
ゆえに, ベクトルの内分の公式が証明できた。
