外分点の公式の証明（ベクトル）

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ直線上で, 比 $m:n$ に外分する点 $\mathrm{Q}(\vec{q})$ を考える。

点 $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上の $$ \mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n $$ を満たす点である。なお, 点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の外側にある。

3点の並びが $$ \mathrm{A} \;-\; \mathrm{B} \;-\; \mathrm{Q} $$ であるときを考える。 定義より, $$ \mathrm{AQ} : \mathrm{AB} = m : (m-n) $$ である。 よって, $$ \overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{AB}} $$ と表される。 ここで, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\vec{q}-\vec{a}$ であるから, $$ \vec{q}-\vec{a} = \frac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a}) $$ が成り立つ。 これを整理すると, $$ \vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} $$ を得る。

3点の並びが $$ \mathrm{Q} \;-\; \mathrm{A} \;-\; \mathrm{B} $$ のときについては, $$ \mathrm{BQ} : \mathrm{BA} = n : (n-m) $$ が成り立つ。 さきほどと同様にして, $$ \vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} $$ を得る。

ゆえに, ベクトルの外分点の公式が証明できた。