外分の公式の証明（ベクトル）

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ直線上で, 比 $m:n$ に外分する点 $\mathrm{Q}(\vec{q})$ を考える。 外分の定義より, $$ \mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n $$ が成り立ち, 点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の外側にある。 このとき, 点の並びは $$ \mathrm{A} \;-\; \mathrm{B} \;-\; \mathrm{Q} $$ である。 定義より, $$ \mathrm{AQ} : \mathrm{AB} = m : (m-n) $$ が成り立つ。 よって, $$ \overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{AB}} $$ と表される。 ここで, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\vec{q}-\vec{a}$ であるから, $$ \vec{q}-\vec{a} = \frac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a}) $$ が成り立つ。 これを整理すると, $$ \vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} $$ を得る。 このとき, 点の並びは $$ \mathrm{Q} \;-\; \mathrm{A} \;-\; \mathrm{B} $$ である。 定義より, $$ \mathrm{BQ} : \mathrm{BA} = n : (n-m) $$ が成り立つ。 さきほどと同様にして, $$ \vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} $$ を得る。 ゆえに, ベクトルの外分の公式が証明できた。