重心の位置ベクトルの公式（ベクトル）
ベクトルで重心の位置ベクトルを示す公式を証明してみよう。
三角形の重心の位置ベクトル
平面上の 3 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$, $\mathrm{C}(\vec{c})$ を頂点とする三角形の重心を
$\mathrm{G}(\vec{g})$ とすると,
その位置ベクトル $\vec{g}$ は
$$
\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
$$
で与えられる。
証明（三角形の重心の位置ベクトル）
平面上の 3 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$, $\mathrm{C}(\vec{c})$ を考える。
§中点の位置ベクトル
点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ線分の中点を $\mathrm{M}$ とすると,
その位置ベクトル $\vec{m}$ は
$$
\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}
$$
で与えられる。
§中線上の内分
重心 $\mathrm{G}$ は,
中線 $\mathrm{AM}$ を $2:1$ に内分する点である。
したがって,
内分の公式より
$$
\vec{g}
= \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{m}}{2 + 1}
$$
が成り立つ。
§式の整理
$\vec{m} = \dfrac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ を代入すると,
$$
\vec{g}
= \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{3}
= \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
$$
を得る。
§結論
ゆえに,
三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトルは
$$
\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
$$
で与えられることが示された。
