重心の位置ベクトルの公式

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$, $\mathrm{C}(\vec{c})$ を頂点とする三角形 $\mathrm{ABC}$ を考える。

点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ線分の中点 $\mathrm{M}(\vec{m})$ について, $$ \vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $$ である。

重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ は, 中線である $\mathrm{AM}$ を $2:1$ に内分する点である。 したがって, 内分点の公式より $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + 2 \vec{m}}{3} $$ が成り立つ。

上式に, $\vec{m} = \dfrac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ を代入すると, $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$ を得る。

ゆえに, 三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$ で与えられることが示された。