外心の位置ベクトルの公式（ベクトル）

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とし, 外心を $\mathrm{O}(\vec{o})$ とする。 外心 $\mathrm{O}$ は, 三角形の各頂点から等距離にある点であり, 各辺の垂直二等分線の交点として定まる。 よって, $$ |\vec{o}-\vec{a}| = |\vec{o}-\vec{b}| = |\vec{o}-\vec{c}| $$ が成り立つ。 三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円を考えると, その半径を $R$ として, 正弦定理より $$ |\vec{b}-\vec{c}| = 2R\sin A,\quad |\vec{c}-\vec{a}| = 2R\sin B,\quad |\vec{a}-\vec{b}| = 2R\sin C $$ が成り立つ。 また, 外心 $\mathrm{O}$ は外接円の中心であるから, 各頂点と外心を結ぶベクトルのなす角は, 対応する角の 2 倍となる。 点 $\mathrm{O}$ を, 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ の位置ベクトルの一次結合 $$ \vec{o} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} $$ と表す。 平面内の点であるから, 係数は $$ x + y + z = 1 $$ を満たす。 外心においては, 各辺に対する寄与が, それぞれ対向角の大きさに応じて対称に現れる。 正弦定理と $\sin 2A = 2\sin A \cos A$ を用いると, 各頂点に対応する係数は $$ x : y : z = \sin 2A : \sin 2B : \sin 2C $$ となる。 これを $x+y+z=1$ で正規化すると, $$ \begin{aligned} x &= \frac{\sin 2A}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C},\\ y &= \frac{\sin 2B}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C},\\ z &= \frac{\sin 2C}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \end{aligned} $$ を得る。 ゆえに, 外心 $\mathrm{O}$ の位置ベクトルは $$ \vec{o} = \frac{\sin 2A\,\vec{a} + \sin 2B\,\vec{b} + \sin 2C\,\vec{c}} {\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} $$ と表されることが分かった。