外心の位置ベクトルの公式

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とし, 外心を $\mathrm{O}(\vec{o})$ とする。

外心 $\mathrm{O}$ は, 三角形の各頂点から等距離にある点であり, その距離は外接円の半径 $R$ と一致する。つまり, $$ \mathrm{OA} = \mathrm{OC} = \mathrm{OC} = R $$ である。

外接円について, 円周角の定理より中心角 $\angle \mathrm{BOC}$ は円周角 $\angle \mathrm{BAC}$ の2倍の大きさである。つまり, $\angle \mathrm{BOC} = 2A$ である。同様に, $\angle \mathrm{COA} = 2B$, $\angle \mathrm{AOB} = 2C$ が成り立つ。

①②と三角形の面積の公式から, $$ \begin{aligned} \triangle \mathrm{OAB} &= \frac{1}{2}R^2 \sin 2A \\ \triangle \mathrm{OBC} &= \frac{1}{2}R^2 \sin 2B \\ \triangle \mathrm{OCA} &= \frac{1}{2}R^2 \sin 2C \end{aligned} $$ が成り立つ。

ゆえに, はじめに記載した公式により, 外心 $\mathrm{O}$ の位置ベクトル $\vec{o}$ は, $$ \begin{aligned} \vec{o} &= \frac{\frac{1}{2}R^2 \sin 2A \vec{a}+ \frac{1}{2}R^2 \sin 2B \vec{b}+ \frac{1}{2}R^2 \sin 2C \vec{c}}{\frac{1}{2}R^2 \sin 2A + \frac{1}{2}R^2 \sin 2B + \frac{1}{2}R^2 \sin 2C} \\ & =\frac{\sin 2A \vec{a}+\sin 2B \vec{b}+ \sin 2C \vec{c}}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \end{aligned} $$ と表されることが分かる。