内心の位置ベクトルの公式

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とする。内心を $\mathrm{I}(\vec{i})$ とする。

$\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とすると， 内角の二等分線の定理より， $$ \mathrm{BD} : \mathrm{DC} = c : b $$ が成り立つ。 内分点の公式より， $$ \vec{d} = \frac{b\,\vec{b} + c\,\vec{c}}{b+c} $$ と表される。 また, $\displaystyle \mathrm{BD} = \frac{c}{b+c}a$ である。

内心 $\mathrm{I}$ は線分 $\mathrm{AD}$ 上にあり， 三角形 $\mathrm{ABD}$ において， $\angle B$ の二等分線が $\mathrm{I}$ を通ることから， $$ \mathrm{AI} : \mathrm{ID} = c : \frac{ac}{b+c} = (b+c) : a $$ となる。 よって， $$ \vec{i} = \frac{a\vec{a} + (b+c)\vec{d}}{a+b+c} $$ となる。

ここで, $\vec{d} = \dfrac{b\,\vec{b} + c\,\vec{c}}{b+c}$ を代入すると， $$ \vec{i} = \frac{a\,\vec{a} + b\,\vec{b} + c\,\vec{c}}{a+b+c} $$ を得る。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると, $$ \begin{aligned} a &= 2R \sin A \\ b &= 2R \sin B \\ c &= 2R \sin C \end{aligned} $$ が成り立つ。

ゆえに, 以上を組み合わせれば, $$\vec{i} = \frac{\sin A \ \vec{a} + \sin B \ \vec{b} + \sin C \ \vec{c}}{\sin A+ \sin B+ \sin C}$$ が得られる。