オイラー線上の３点の位置ベクトルの関係式（垂心と重心、外心）

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とし, 垂心を $\mathrm{H}(\vec{h})$, 重心を $\mathrm{G}(\vec{g})$, 外心を $\mathrm{O}(\vec{o})$ とする。

外心 $\mathrm{O}$ を原点とする座標系を考え, 次のように定める。 $$ \vec{a}'=\vec{a}-\vec{o},\quad \vec{b}'=\vec{b}-\vec{o},\quad \vec{c}'=\vec{c}-\vec{o} $$ 外心は各頂点から等距離にあるため, $$ |\vec{a}'|=|\vec{b}'|=|\vec{c}'| $$ が成り立つ。

垂心 $\mathrm{H}$ は, 各頂点から対辺に下ろした垂線の交点である。 よって, 頂点 $\mathrm{A}$ について, $$ \overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}} $$ が成り立つ。 これはベクトルで $$ (\vec{h}'-\vec{a}')\cdot(\vec{b}'-\vec{c}')=0 $$ と表される。 他の頂点についても同様である。

ここで, $$ \vec{h}'=\vec{a}'+\vec{b}'+\vec{c}' $$ とおく。 このとき, $$ \vec{h}'-\vec{a}'=\vec{b}'+\vec{c}' $$ であるから, $$ (\vec{h}'-\vec{a}')\cdot(\vec{b}'-\vec{c}') =(\vec{b}'+\vec{c}')\cdot(\vec{b}'-\vec{c}') $$ となる。 右辺を計算すると, $$ |\vec{b}'|^2-|\vec{c}'|^2=0 $$ であり, 直交条件を満たすことが分かる. 他の頂点についても同様に成り立つため, この $\vec{h}'$ は垂心を表す。

$\vec{h}'=\vec{h}-\vec{o}$ であるから, $$ \vec{h}-\vec{o} =(\vec{a}-\vec{o})+(\vec{b}-\vec{o})+(\vec{c}-\vec{o}) $$ が成り立つ. これを整理すると, $$ \vec{h} =\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-2\vec{o} $$ を得る.

重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ の位置ベクトルは $$\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$ であった。

ゆえに, 三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心を $\mathrm{H}(\vec{h})$, 重心を $\mathrm{G}(\vec{g})$, 外心を $\mathrm{O}(\vec{o})$ について, $$ \vec{h}=3\vec{g}-2\vec{o} $$ が成り立つ。