垂線の足の位置ベクトルの公式

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と 直線 $\ell:\ \vec{x}=\vec{b}+t\vec{u}$ について, 点 $\mathrm{A}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}(\vec{h})$ とする。

ベクトル $\vec{a}-\vec{b}$ を, 方向ベクトル $\vec{u}$ の方向と, それに垂直な方向に分解する。 このとき, $\vec{a}-\vec{b}$ の $\vec{u}$ 方向への正射影ベクトル $\vec{v}$ は, $$ \vec{v}=\frac{(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u} $$ で与えられる。

点 $\mathrm{H}$ は, 点 $\mathrm{A}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足であるから, ベクトル $\vec{a}-\vec{h}$ は, 方向ベクトル $\vec{u}$ に垂直である。 したがって, $$\vec{v} = \vec{h}-\vec{b}$$ が成り立つ。

ゆえに, 正射影ベクトルの式を代入すると, 点 $\mathrm{A}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ の位置ベクトルは, $$ \vec{h} =\vec{b} +\frac{(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u} $$ が分かる。