オイラー線上の外心・垂心・重心の関係（ベクトル）
三角形の重心 $\mathrm{G}$, 外心 $\mathrm{O}$, 垂心 $\mathrm{H}$ について, $$ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OH}} $$ が成り立つ。すなわち, 点 $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ は一直線上にあり, $\mathrm{G}$ は $\mathrm{OH}$ を $1:2$ に内分する点である。
三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とし, 重心, 外心, 垂心をそれぞれ $\mathrm{G}(\vec{g}), \mathrm{O}(\vec{o}), \mathrm{H}(\vec{h})$ とする。
この式を変形すると, $$ \vec{h}-\vec{o} = 3(\vec{g}-\vec{o}) $$ を得る。 すなわち, $$ \overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}} $$ が成り立つ。
ゆえに, $$ \overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac13 \overrightarrow{\mathrm{OH}} $$ が成り立つ。そして, 点 $\mathrm{O}, \mathrm{G}, \mathrm{H}$ は一直線上にあり, $\mathrm{G}$ は $\mathrm{OH}$ を $1:2$ に内分する点である。
