ベクトルの外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ の成分表示
成分表示（内積）
$\vec{a}=\left(\begin{aligned} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{aligned} \right)$ と $\vec{b}=\left(\begin{aligned} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{aligned} \right)$ であれば, $$\vec{a} \times \vec{b}=\left(\begin{aligned} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{aligned} \right)$$ となる.
ベクトルの外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を成分表示した公式を導出してみよう。
例えば, $\vec{a} = (1,0,0)$ と $\vec{b}=(0,1,0)$ の外積は $\vec{a} \times \vec{b} = (0,0,1)$ です。
外積の必要十分条件
- $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交する.
- 座標系が右手系であるとき, 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は $\vec{a}$ から $\vec{b}$ に右ねじを回す向きである。座標系が左手系であるとき, 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は $\vec{a}$ から $\vec{b}$ に左ねじを回す向きである.
- $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の大きさを $\theta$ とすると $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ を満たす.
ここで, 角度 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ は に対応する方向に回す.
証明.
$\vec{a}=\left(\begin{aligned} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{aligned} \right)$ と $\vec{b}=\left(\begin{aligned} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{aligned} \right)$ であれば, $$\vec{x}=\left(\begin{aligned} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{aligned} \right)$$ が外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ の３つの条件を満たすことを示す.
(1) 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交すること;
$$\begin{aligned}
& \vec{a} \cdot \vec{x} \\
&=\left(\begin{aligned} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{aligned} \right) \cdot \left(\begin{aligned} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{aligned} \right) \\
&= a_1(a_2b_3-a_3b_2) + a_2(a_3b_1-a_1b_3) \\
& \phantom{aaaa}+a_3(a_1b_2 - a_2b_1) \\
&= 0
\end{aligned}$$
よって, $\vec{a} \perp \vec{x}$ が言える. 同様にして, $\vec{b} \perp \vec{x}$ が分かる.
(2)向きが適切であること;
$\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}) > 0$ を示す.
$$\left|
\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_2 & b_2 & a_3b_1-a_1b_3 \\
a_3 & b_3 & a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}
\right|$$
$c_{ij} = a_ib_j$ と置き, 行列式を実際に計算すると, $c_{12}(c_{12}-c_{21})$ $+c_{23}(c_{23}-c_{32})$ $+c_{31}(c_{31}-c_{13})$ $- c_{32}(c_{23}-c_{32})$ $-c_{21}(c_{12}-c_{21})$ $-c_{13}(c_{31}-c_{13})$ となる. これを変形すると, $(c_{12} - c_{21})^2 + (c_{23}-c_{32})^2+(c_{31}-c_{13})^2$ となる.
ゆえに, $\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{x})>0$ が示せた.
$\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}) = |\vec{x}|^2$ となった.
(3)外積の大きさが $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ であること;
$c_{ij} = a_ib_j$ と置く.
$$\begin{aligned}
&|\vec{a} \times \vec{b}|^2 \\
& = (c_{23}-c_{32})^2+(c_{31}-c_{13})^2 + (c_{12}-c_{21})^2 \\
& = c_{23}^2 + c_{32}^2 + c_{31}^2+c_{13}^2 + c_{12}^2+c_{21}^2 \\
&\phantom{aaa} -(2c_{23}c_{32}+2c_{31}c_{13} + 2c_{12}c_{21}) \\
& = c_{11}^2 + c_{12}^2 +c_{13}^2 \\
&\phantom{aaa} + c_{21}^2 + c_{22}^2 + c_{23}^2 \\
&\phantom{aaa} + c_{31}^2 + c_{32}^2 + c_{33}^2 \\
&\phantom{aaa} - c_{11}^2- c_{22}^2 - c_{33}^2 \\
&\phantom{aaa} -2c_{23}c_{32}-2c_{31}c_{13} - 2c_{12}c_{21} \\
&=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \\
&\phantom{aaa} -(c_{11}+c_{22}+c_{33})^2 \\
&=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2
\end{aligned}$$
$\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$
ゆえに, $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ である.
