ベクトルの外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ の定義
定義（外積）
ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を $$\vec{a}\times \vec{b} = (|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta ) \vec{n}$$ とする. 角度 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の大きさである.
$\vec{n}$ は, 次の向きの単位ベクトルである. 座標系が右手系であるときは $\vec{a}$ から $\vec{b}$ に右ねじを回す向きで定める. 座標系が左手系であるときは $\vec{a}$ から $\vec{b}$ に左ねじを回す向きで定める. なお, ネジは $\theta$ に対応する方向に回す.
例えば, $x$ 軸の正の向きの単位ベクトルと $y$ 軸の正の向きの単位ベクトルの外積は $z$ 軸の正の向きの単位ベクトルです。
言い換え（外積）
ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は次の条件を満たすベクトルである.
- $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交する.
- 座標系が右手系であるとき, 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は $\vec{a}$ から $\vec{b}$ に右ねじを回す向きである。座標系が左手系であるとき, 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は $\vec{a}$ から $\vec{b}$ に左ねじを回す向きである.
- $|\vec{a}\times \vec{b}| =|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$ を満たす.
ここで, 角度 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の大きさである. (2)でネジは $\theta$ に対応する方向に回す.
