階差数列の定義
定義（階差数列）
数列 $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ について, $$\displaystyle b_{n} = a_{n+1} - a_n$$ で定義される数列 $\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ を階差数列という.
例えば, $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $28$, $\cdots$ の階差数列は, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $\cdots$です！
階差数列を含む漸化式
数列 $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ の漸化式として $$a_{n+1} - a_n = f(n)$$ が成り立っているとする. $f(n)$ は自然数 $n$ の関数である.
このとき, $b_n=f(n)$ という数列 $\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ は $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ の階差数列である.
階差数列から元の数列の導出
数列 $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ の初項が $a_1$ であるとする. この数列の階差数列 $\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ を利用すれば, 数列 $\{ a_n \}_n$ の一般項は
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$$
と表すことができる.
