数列の和から元の数列の関係式 $a_n = S_{n}-S_{n-1}$, $S_1=a_1$ の証明
数列 $\{ a_n \}$ とその和 $S_n$ の関係式を理解してみよう。
公式
数列 $\{ a_n \}_{n}$ の和を $ S_n$ とする.
$a_1=S_1$ であり,
$n \geq 2$ のとき,
$\displaystyle a_n = S_n - S_{n-1}$
である.
証明.
数列 $\{a_n\}$ の和 $S_n$ は
$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_n$
である.
まず, $S_1$ $= \displaystyle \sum_{k=1}^1a_n$ $=a_1$ である.
また, $n \geq 2$ のとき, $S_{n-1}$ $= \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} a_n$ であるので,
$S_n - S_{n-1}$ $=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_n$ $-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} a_n$ $=a_n$
となる.
ゆえに, $a_1=S_1$ であり,
$n \geq 2$ のとき, $\displaystyle a_n = S_n - S_{n-1}$
が成り立つ.
たとえば, $\{a_n\}$
$2$, $5$, $8$, $11$
の数列の和 $\{S_n \}$は
$2$, $7$, $15$, $26$
です。
$a_1 = 2 = S_1$
です。
また,
$S_2-S_1$ $=7-2$ $=5$ $=a_2$
$S_3-S_2$ $=15-7$ $=8$ $=a_3$
$S_4-S_3$ $=26-15$ $=11$ $=a_4$
になっています。
