点と直線の距離の公式の証明【法線ベクトル】
公式（点と直線の距離）
点 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ と直線 $\ell: ax+by+c=0$ の距離 $d$ は
$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
である.
点と直線の距離の公式を, 直線の法線ベクトルを使って証明してみよう。
例えば, 点 $\mathrm{O}(0,0)$ と直線 $\ell: 2x + y+3=0$ の距離を考えてみます。
点 $\mathrm{O}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$ とします。$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は直線 $\ell$ の法線ベクトルなので, ある実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}} = (2t,t)$ と表せます. $\mathrm{H}(2t,t)$ は直線上の点なので, $2(2t) + t + 3 =0$ が成り立ちます.
$t=-\frac{3}{5}$ なので, $d = |\overrightarrow{\mathrm{OH}}| = \frac{3}{\sqrt{5}}$ と分かります！
証明.
直線 $\ell$ の法線ベクトルの１つは $\vec{n} = (a,b)$ である.
直線 $ax+by+c = 0$ の法線ベクトルの１つは $\vec{n} = (a,b)$ である.
点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする. $\overrightarrow{\mathrm{PH}} /\!/ \vec{n}$ であるから, ある実数 $t$ を用いて, $$\overrightarrow{\mathrm{PH}} = t \vec{n} = (ta,tb)$$ と表すことができる. $|\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = d$ である.
点 $\mathrm{H}$ が直線 $\ell$ 上にあることを利用して実数 $t$ を求める.
$\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OH}}
&= \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{PH}} \\
&= (x_0, y_0) + (ta,tb) \\
&= (x_0+ta, y_0+tb)
\end{aligned}$
$\mathrm{H}(x_0+ta, y_0+tb)$ が直線 $\ell: ax+by+c=0$ 上の点であるので, $$a(x_0 + ta) + b(y_0 + tb) + c = 0$$ が成り立つ. この式を変形すると, $$t=-\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$$ を得る.
$$\begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{PH}} |&= |t| |\vec{n}| \\
& = \left| -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \right| \cdot \sqrt{a^2+b^2} \\
& = \frac{|ax_0 + by_0 + c |}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2} \\
& = \frac{|ax_0 + by_0 + c |}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{aligned}$$
以上より, 点と直線の距離の公式が $$d= \frac{|ax_0 + by_0 + c |}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ で与えられることが分かった.
