点と平面の距離の公式の証明【法線ベクトル】
公式（点と平面の距離）
点 $\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $\alpha: ax+by+cz+d=0$ の距離 $h$ は
$$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
である.
点と平面の距離の公式を, 平面の法線ベクトルを使って証明してみよう。
例えば, 点 $\mathrm{O}(0,0,0)$ と平面 $\alpha: 2x + y -z+3=0$ の距離を考えてみます。
点 $\mathrm{O}$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$ とします。$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は平面 $\alpha$ の法線ベクトルなので, ある実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}} = (2t,t,-t)$ と表せます. $\mathrm{H}(2t,t,-t)$ は直線上の点なので, $2(2t) + t -(-t) + 3 =0$ が成り立ちます.
$t=-\frac{1}{2}$ なので, $h = |\overrightarrow{\mathrm{OH}}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ と分かります！
証明.
平面 $\alpha$ の法線ベクトルの１つは $\vec{n} = (a,b,c)$ である.
平面 $ax+by+cz+d = 0$ の法線ベクトルの１つは $\vec{n} = (a,b,c)$ である.
点 $\mathrm{P}$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする. $\overrightarrow{\mathrm{PH}} /\!/ \vec{n}$ であるから, ある実数 $t$ を用いて, $$\overrightarrow{\mathrm{PH}} = t \vec{n} = (ta,tb, tc)$$ と表すことができる. $|\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = h$ である.
点 $\mathrm{H}$ が直線 $\alpha$ 上にあることを利用して実数 $t$ を求める.
$\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OH}}
&= \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{PH}} \\
&= (x_0, y_0, z_0) + (ta,tb, tc) \\
&= (x_0+ta, y_0+tb, z_0 +tc)
\end{aligned}$
$\mathrm{H}(x_0+ta, y_0+tb, z_0+tc)$ が平面 $\alpha: ax+by+cz+d=0$ 上の点であるので,
$$a(x_0 + ta) + b(y_0 + tb) + c(z_0+tc)+d = 0$$
が成り立つ. この式を変形すると, $$t=-\frac{ax_0 + by_0 + cz_0+d}{a^2 + b^2+c^2}$$ を得る.
$$\begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{PH}} |&= |t| |\vec{n}| \\
& = \left| -\frac{ax_0 + by_0 + cz_0+d}{a^2 + b^2+c^2} \right| \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} \\
& = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 +d |}{a^2 + b^2+c^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} \\
& = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0+d |}{\sqrt{a^2 + b^2+c^2}}
\end{aligned}$$
以上より, 点と直線の平面の距離の公式が
$$d= \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0+d |}{\sqrt{a^2 + b^2 +c^2}}$$
で与えられることが分かった.
