離散的確率変数の期待値の定義
離散的な場合で, 統計量である期待値 $E[X]$ の定義を学んでみよう！
定義
離散的な確率変数 $X$ は, $1 \leqq i \leqq n$ について $P(X = x_i) =p_i$ を満たすとする。
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| 確率 | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
次の $E[X]$ を確率変数 $X$ の期待値という:$$E[X] := x_1 p_1 + \cdots + x_n p_n.$$
次の確率分布の場合
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | 計 |
| 確率 | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $1$ |
4回試行した結果として $\{ 1, \ 1, \ 2, \ 3 \}$ となることが最も多い。この平均値である $$\frac{1 \times 2 + 2 + 3}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}$$ が期待値を表している。
離散的な確率変数
確率分布 $S$ の表は, $1 \leqq i \leqq n$ について, 起こり得る値が $x_i$, その確率が $p_i \in [0,1]$ であることを示している 。集合 $\{ x_1, \ldots, x_n \}$ からそれぞれの確率の値を取る確率関数 $P$ の
変数 $X$ を確率変数
という。このとき, $P(X=x_i) = p_i$ と表記する。
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| 確率 | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
$p_1+\ldots +p_n = 1$, $0 < p_i < 1$
