期待値の定義（離散型確率変数）
離散的な場合で, 統計量である期待値 $E[X]$ の定義を学んでみよう！
定義
次の $E[X]$ を離散的な確率変数 $X$ の期待値という:$$E[X] := x_1 p_1 + \cdots + x_n p_n.$$
ここで確率変数 $X$ は, $1 \leqq i \leqq n$ について $P(X = x_i) =p_i$ を満たすものとする。
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| 確率 | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
次の確率分布の場合
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | 計 |
| 確率 | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $1$ |
4回試行した結果として $\{ 1, \ 2, \ 2, \ 3 \}$ となることが最も多い。
このデータの平均値
$\displaystyle \frac{1 + 2 \times 2 + 3}{4}$
こそが期待値
$\displaystyle 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{2}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4}$
であり, $E[X]=2$ である。
