$E[XY]=E[X]E[Y]$【離散的確率変数】
独立である離散的な確率変数 $X$ と $Y$ の積の期待値 $E[XY]$ を計算する公式を証明してみよう。
公式
独立な確率変数 $X$ と $Y$ について,
$E[XY]=E[X] E[Y]$
が成り立つ.
$1 \leqq i \leqq m$, $1 \leqq j \leqq n$ について, $P((X,Y)=(x_i, y_j)) = p_{ij}$ とする.
| ($X$,$Y$) | $y_1$ | $\cdots$ | $y_n$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $\cdots$ | $p_{1n}$ | $p_1$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_m$ | $p_{m1}$ | $\cdots$ | $p_{mn}$ | $p_m$ |
| 計 | $q_1$ | $\cdots$ | $q_n$ | $1$ |
同時確率分布では, $\displaystyle p_i = \sum_{j=1}^n p_{ij}$ とすると確率変数 $X$ は $P(X=x_i)=p_i$ を満たす確率分布に従い, $\displaystyle q_j = \sum_{i=1}^m p_{ij}$ とすると確率変数 $Y$ は $P(Y=y_j)=q_j$ を満たす確率分布に従う.
証明.
2変数の確率変数 $XY$ の期待値の定義から公式を導く.
$E[XY]$ $\displaystyle =\displaystyle \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} (x_i y_j)p_{ij} $
確率変数 $X$ と $Y$ の独立性の定義から $p_{ij}=p_iq_j$ が成り立つ.
以下のように計算する.
$\begin{aligned}
&E[XY] \\
& \displaystyle = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} (x_i y_j)p_{ij} \\
& \displaystyle = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} (x_i y_j) (p_{i} q_{j}) \\
& \displaystyle = \left( \sum_{i = 1}^{m} x_i p_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 1}^{n} y_j q_j \right).
\end{aligned}$
この結果は $E[X]$ と $E[Y]$ の定義式の和を示している.
$E[X]$ $\displaystyle = \sum_{i = 1}^{m} x_i p_i$
$E[Y]$ $\displaystyle = \sum_{j = 1}^{n} y_j q_j$
ゆえに, $E[XY]=E[X] E[Y]$ が成り立つ.
$2\times 2$ の同時確率分布で公式を計算してみよう。
| $(X,Y)$ | $y_1$ | $y_2$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_2$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
$E[XY]$
$= (x_1 y_1)p_{11}$ $+ (x_1 y_2)p_{12}$ $+ (x_2 y_1)p_{21}$ $+ (x_2 y_2)p_{22}$
$= (x_1 y_1)(p_{1}q_1)$ $+ (x_1 y_2)(p_{1}q_2)$ $+ (x_2 y_1)(p_{2}q_1)$ $+ (x_2 y_2)(p_{2}q_2)$
$= (x_1p_1+x_2p_2)$ $(y_1q_1 + y_2q_2)$
$=E[X] E[Y]$.
