フィボナッチ数列の偶数番号の和 $F_2 + F_4 + \ldots + F_{2n} = F_{2n+1}-1$

すべての自然数 $n$ について, 次の等式(＊)が成り立つことを数学的帰納法で証明する。 $$ F_2 + F_4 + \cdots + F_{2n} = F_{2n+1} - 1$$

左辺は $F_2 = 1$ である。
右辺は $F_{2 \cdot 1 + 1} - 1 = F_3 - 1 = 2 - 1 = 1$ である。
ゆえに, $n=1$ のとき等式(＊)は成り立つ。

$n=k$ のとき, 等式(＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ F_2 + F_4 + \cdots + F_{2k} = F_{2k+1} - 1 $$ が成り立つとする。

$n=k+1$ のとき, 左辺の和を計算すると次のようになる。 $$ \begin{aligned} &(F_2 + F_4 + \cdots + F_{2k}) + F_{2k+2} \\[5pt] &= (F_{2k+1} - 1) + F_{2k+2} \\[5pt] &= (F_{2k+2} + F_{2k+1}) - 1 \\[5pt] &= F_{2k+3} - 1 \\[5pt] &= F_{2(k+1)+1} - 1 \end{aligned} $$ となり, $n=k+1$ のときも等式(＊)は成り立つ。

以上より, 数学的帰納法によって, すべての自然数 $n$ について $$ F_2 + F_4 + \cdots + F_{2n} = F_{2n+1} - 1 $$ が成り立つ。