フィボナッチ数列の偶数番号の和 $F_2 + F_4 + \ldots + F_{2n} = F_{2n+1}-1$
偶数番号のフィボナッチ数の和が $F_{2n+1}-1$ であることを証明してみよう。
公式
フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について $$F_2 + F_4 + \ldots + F_{2n} = F_{2n+1}-1$$
証明.
数学的帰納法によって示す.
$n=1$ のとき, 左辺は $F_2 = 1$ である. 右辺は $F_{2 \cdot 1 +1}-1 = 2-1=1$ である.
ゆえに, $n=1$ のとき, 示すべき等式は成り立つ.
$n=k \in \mathbb{N}$ のとき, $F_2 + F_4 + \ldots + F_{2k} = F_{2k+1}-1 $ が成り立つと仮定する.
$n = k+1$ のときについて,
$$\begin{aligned}
F_{2n+1} -1 &= F_{2(k+1)+1} -1 \\
&= F_{2k+3} -1 \\
&= F_{2k+2} +F_{2k+1}-1 \\
&= F_{2(k+1)} + (F_{2k} + \ldots +F_2) \\
&= F_{2(k+1)} + \ldots + F_2 \\
&= F_{2n} + \ldots + F_2 \\
\end{aligned}$$
フィボナッチ数列 $\{ F_n\}$ は $F_{2k+3} = F_{2k+2} + F_{2k+1}$ を満たす.
である.
ゆえに, $n=k+1$ のときも, 示すべき等式は成り立つ.
以上から, 数学的帰納法によって, 任意の自然数 $n$ について $F_2 + F_4 + \ldots + F_{2n} = F_{2n+1}-1 $ が成り立つ.
e.g. 公式の観察。
$n=3$ のとき
① $F_2 + F_4 + F_6$
② $F_7 - 1$
が同じ値の理由を観察します。
①について
$F_2 = F_3 - F_1$
$F_4 = F_5 - F_3$
$F_6 = F_7- F_5$
と変形して和をとると,
$F_7 -F_1$
となる。
$F_1=1$ だから, ①は②と同じ値と分かる。
