フィボナッチ数列の偶数番号の和 $F_2+F_4+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1$

証明.

数学的帰納法によって示す.

$n=1$ のとき, 左辺は $F_2=1$ である. 右辺は $F_{2\cdot 1+1}-1=2-1=1$ である.

ゆえに, $n=1$ のとき, 示すべき等式は成り立つ.

$n=k\in \mathbb{N}$ のとき, $F_2+F_4+\dots +F_{2k}=F_{2k+1}-1$ が成り立つと仮定する.

$n=k+1$ のときについて,

$$\begin{array}{rl}{F}_{2n+1}-1& =F_{2(k+1)+1}-1\\ & =F_{2k+3}-1\\ & =F_{2k+2}+F_{2k+1}-1\\ & =F_{2(k+1)}+(F_{2k}+\dots +F_2)\\ & =F_{2(k+1)}+\dots +F_2\\ & =F_{2n}+\dots +F_2\end{array}$$

である.

ゆえに, $n=k+1$ のときも, 示すべき等式は成り立つ.

以上から, 数学的帰納法によって, 任意の自然数 $n$ について $F_2+F_4+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1$ が成り立つ.