フィボナッチ数列の奇数番号の和 $F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$

証明.

数学的帰納法によって示す.

$n=1$ のとき, 左辺は $F_1 = 1$ である. 右辺は $F_{2 \cdot 1} = 1$ である.

ゆえに, $n=1$ のとき, 示すべき等式は成り立つ.

$n=k \in \mathbb{N}$ のとき, $F_1 + F_3 + \ldots + F_{2k-1} = F_{2k} $ が成り立つと仮定する.

$n = k+1$ のときについて,

$$\begin{aligned}
F_{2n} &= F_{2(k+1)} \\
&= F_{2k+1} +F_{2k} \\
&= F_{2k+1} + (F_{2k-1} + \ldots +F_1) \\
&= F_{2n-1} + \ldots + F_1
\end{aligned}$$

である.

ゆえに, $n=k+1$ のときも, 示すべき等式は成り立つ.

以上から, 数学的帰納法によって, 任意の自然数 $n$ について $F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n} $ が成り立つ.