フィボナッチ数列の奇数番号の和 $F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$

任意の自然数 $n$ について, 次の等式(＊)が成り立つことを数学的帰納法で証明する。 $$ F_1 + F_3 + \cdots + F_{2n-1} = F_{2n}$$

左辺は $F_1 = 1$, 右辺は $F_{2 \cdot 1} = F_2 = 1$ である。
ゆえに, $n=1$ のとき等式(＊)は成り立つ。

$n=k$ のとき, 等式(＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ F_1 + F_3 + \cdots + F_{2k-1} = F_{2k} $$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき, (＊)の左辺の和を計算すると： $$ \begin{aligned} &(F_1 + \cdots + F_{2k-1}) + F_{2k+1} \\ &= F_{2k} + F_{2k+1}\\ &= F_{2k+2} \\ &= F_{2(k+1)} \end{aligned} $$ となり, $n=k+1$ のときの右辺に一致する。
※ ここでフィボナッチ数列の定義 $F_{2k+2} = F_{2k+1} + F_{2k}$ を用いた。

よって, $n=k$ のとき等式が成り立つと仮定すると, $n=k+1$ のときも成り立つことが示された。
数学的帰納法により, すべての自然数 $n$ について $$ F_1 + F_3 + \cdots + F_{2n-1} = F_{2n} $$ は成り立つ。