フィボナッチ数列の平方和 $F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$
フィボナッチ数列の初項から第 $n$ 項までの平方和が $F_nF_{n+1}$ であることを証明してみよう。
公式
フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について $$F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$$
証明.
数学的帰納法によって示す.
$n=1$ のとき, 左辺は $F_1^2 = 1$ である. 右辺は $F_1F_2 = 1 \cdot 1 =1$ である.
ゆえに, $n=1$ のとき, 示すべき等式は成り立つ.
$n=k \in \mathbb{N}$ のとき, $F_1^2 + \ldots + F_k^2 = F_kF_{k+1}$ が成り立つと仮定する.
$n = k+1$ のときについて,
$$\begin{aligned}
F_{n}F_{n + 1} &= F_{k+1}F_{k+2} \\
&= F_{k+1}(F_{k+1} + F_k) \\
&= F_{k+1}^2 + F_kF_{k+1} \\
&= F_{k+1}^2 + (F_{k}^2 + \ldots + F_1^2) \\
&= F_{k+1}^2 + \ldots + F_1^2 \\
&=F_n^2 + \ldots + F_1^2
\end{aligned}$$
である。
ゆえに, $n=k+1$ のときも, 示すべき等式は成り立つ.
フィボナッチ数列 $\{ F_n\}$ は $F_{k+2} = F_{k+1} + F_{k}$ を満たす.
以上から, 数学的帰納法によって, 任意の自然数 $n$ について $F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_{n}F_{n+1}$ が成り立つ.
e.g. 公式の観察。
$n=3$ のとき,
① $F_1^2 + F_2^2 + F_3^2$
② $F_3F_4$
が等しい理由を観察します。
②について
$F_3F_4 = F_3(F_3+F_2)$ $= F_3^2+ F_2F_3$
です。$F_2F_3$ のところは
$F_2^2 + F_2F_1$
になります。 $F_2F_1$ のところは $F_2=F_1$ から, $F_1^2$ となります。
よって, ②は $F_3^2$ と $F_2^2$ と $F_1^2$ の和となり①と等しくなりました。
