フィボナッチ数列の平方和 $F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$

フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ を $F_1 =F_2= 1$ かつ $$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$ によって定める。 これに対し, $$F_1^2+\cdots+F_n^2 = F_nF_{n+1}$$ が成り立つことを数学的帰納法によって示す。

$n=1$ のとき, 左辺は $F_1^2 = 1$ である。一方, 右辺は $$F_1F_2 = 1\cdot 1 = 1$$ である。よって, $n=1$ のとき, 示すべき等式は成り立つ。

$n=k \in \mathbb{N}$ のとき, $$F_1^2+\cdots+F_k^2 = F_kF_{k+1}$$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のときについて考える。 フィボナッチ数列の定義より $$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$$ が成り立つから,

$$\begin{aligned} F_{k+1}F_{k+2} &= F_{k+1}(F_{k+1}+F_k) \\ &= F_{k+1}^2 + F_kF_{k+1} \\ &= F_{k+1}^2 + (F_k^2+\cdots+F_1^2) \\ &= F_{k+1}^2+\cdots+F_1^2 \end{aligned}$$

よって, $n=k+1$ のときも, 示すべき等式は成り立つ。

以上より, 数学的帰納法によって, 任意の自然数 $n$ について $$F_1^2+\cdots+F_n^2 = F_nF_{n+1}$$ が成り立つ。