フィボナッチ数列の和の公式 $F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2}-1$

数学的帰納法によって示す。

$n=1$ のとき, 左辺は $F_1 = 1$ である。 右辺は $F_3 - 1 = 2 - 1 = 1$ である。

ゆえに, $n=1$ のとき, 示すべき等式は成り立つ。

$n = k \in \mathbb{N}$ のとき, $$ F_1 + \ldots + F_k = F_{k+2} - 1 $$ が成り立つと仮定する。

$n = k+1$ のときについて考える。

$$ \begin{aligned} F_{n+2} - 1 &= F_{(k+1)+2} - 1 \\ &= F_{k+3} - 1 \\ &= F_{k+2} + F_{k+1} - 1 \\ &= F_{k+1} + (F_{k+2} - 1) \\ &= F_{k+1} + (F_k + \ldots + F_1) \\ &= F_{k+1} + \ldots + F_1 \end{aligned} $$

したがって, $n = k+1$ のときも, $$ F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} - 1 $$ が成り立つ。

以上から, 数学的帰納法によって, 任意の自然数 $n$ について $$ F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} - 1 $$ が成り立つ。