フィボナッチ数列の和の公式 $F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2}-1$

証明.

数学的帰納法によって示す.

$n=1$ のとき, 左辺は $F_1 = 1$ である. 右辺は $F_3 -1 = 2-1 = 1$ である.

ゆえに, $n=1$ のとき, 示すべき等式は成り立つ.

$n=k \in \mathbb{N}$ のとき, $F_1 + \ldots + F_k = F_{k+2}-1$ が成り立つと仮定する.

$n = k+1$ のときについて,

$$\begin{aligned}
F_{n + 2}-1 &= F_{(k+1)+1}-1 \\
&= F_{k+2} +F_{k+1}-1 \\
&= F_{k+1} + (F_{k+2} - 1) \\
&= F_{k+1} + (F_{k} + \ldots + F_1) \\
&= F_{k+1} + \ldots + F_1 \\
&=F_n + \ldots + F_1
\end{aligned}$$

である。

ゆえに, $n=k+1$ のときも, 示すべき等式は成り立つ.

以上から, 数学的帰納法によって, 任意の自然数 $n$ について $F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2}-1$ が成り立つ.