等比数列の和の公式
公式
$$\sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
ただし, $r\neq1$ とする.
等比数列 $\{ ar^{n-1} \}_{n \in \mathbb{N}}$ について, 和の公式を導出・証明してみよう。
例えば, 等比数列 $\{ 3 \cdot 2^{n-1} \}_{n}$ について, 初項から第4項目までの和は $3 + 6 + 12 + 24 = 45$ です。公式でも $\frac{3(2^4-1)}{2-1} = 45$ です！
公式のイメージ
$3 + 6 + 12 + 24 = 45$ の両辺を2倍すると $6 + 12 + 24 + 48 = 90$ です。同じ数がうまく消えるように, ２式を引くと
$$\begin{aligned}
90 & = \phantom{rrrr} 6 + 12 + 24 + 48 \\
45 & = 3 + 6 + 12 + 24 \\ \hline
45 &= -3 \phantom{rrrrrrrrrrrr} +48
\end{aligned}$$
という感じの計算ができる。
公式. $r \neq 1$, $a$ を定数とする. $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ である.
$S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$ と置く.
両辺を $r$ 倍した, $rS = ar + ar^2 + \cdots + ar^n$ の両辺から元の式の両辺をそれぞれ引く.
左辺の差は $(r-1)S$ である. 右辺の差は $ar^n - a$ となる.
$$\begin{align}
rS & = \phantom{rrrr} ar + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \\
S & = a + ar + \cdots + ar^{n-1} \\ \hline
(r-1)S &= -a \phantom{rrrrrrrrrrrrrrrrr} +ar^n
\end{align}$$
よって, $(r-1)S = a(r^n-1)$ を得る. $r \neq 1$ より $\displaystyle S = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ を得る.
ゆえに, $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ である.
