等比数列の和の公式のコツ
$r \neq 1$ のとき, 等比数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nr^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}$ を使うときの計算テクニックを習得してみよう。
等比数列の公式のコツ
①末項の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$
②初項の調整
$\displaystyle \sum_{k=\square}^n r^{k-1} = \sum_{k=1}^n r^{k-1} - \sum_{k=1}^{\square -1}r^{k-1}$
③指数の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{\square} = r^{\triangle}\sum_{k=1}^n r^{k-1}$
ただし, $r\neq1$ とする.
例えば, $\displaystyle \sum_{k=3}^{10} 3^{k+1}$ の場合, $$\displaystyle 9\sum_{k=1}^{10} 3^{k-1} - 9\sum_{k=1}^{2} 3^{k-1}$$ とすれば, 公式が使える形になります！
計算のセンス
等比数列の初項が $3^{3+1} = 81$,
項数が $10-(3-1)=8$ と分かるので,
$\displaystyle \sum_{k=1}^83^{k-1}$ $\displaystyle = \frac{3^8-1}{3-1}$
としてもよい。
