黄金螺旋（らせん）の長さ
黄金螺旋の性質
$n$ 番目の弧の長さは $$\frac{\pi}{2\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$
初めから $n$ 番目までの弧の長さは $$\frac{\pi}{2\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right\}- \frac{\pi}{2}$$
$n$ 番目のフィボナッチ数を $F_n$ とすると, 黄金螺旋の $n$ 番目の四分円弧の長さが $\frac{\pi}{2} F_n$ であること, 円弧をつなぎあわせてできる曲線全体の長さが $\frac{\pi}{2}(F_{n+2}-1)$ であることを導出してみよう。
例えば, ①と②の円弧の長さはそれぞれ $\frac{\pi}{2}\times 1$ です。③では $\frac{\pi}{2}\times 2$, ④では $\frac{\pi}{2}\times 3$, ⑤では $\frac{\pi}{2}\times 5$, ⑥では $\frac{\pi}{2}\times 8$ です。①〜⑥の曲線の長さは $10 \pi$ です！
性質. 黄金螺旋の $n$ 番目までの円弧の長さは $\displaystyle \frac{\pi}{2\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right\}- \frac{\pi}{2}$ である.
$n$ 番目の円弧が含まれる正方形の辺の長さはフィボナッチ数列となっている. 正方形の辺の長さを $F_n$ とする. 正方形の一辺の長さが円弧の半径であるから, $n$ 番目の円弧の長さは $$2\pi F_n \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}F_n$$ である.
$$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$
フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ の一般項の式（ビネーの公式）を利用すれば, 黄金螺旋の $n$ 番目の弧の長さは $$\frac{\pi}{2\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$ と分かる.
初めから $n$ 番目の円弧までの黄金螺旋の長さの和 $$ \frac{\pi}{2}F_1 + \frac{\pi}{2}F_2 + \ldots + \frac{\pi}{2}F_n$$ は $\displaystyle \frac{\pi}{2}(F_{n+2}-1)$ と変形できる.
$$F_1 + F_2 + \ldots + F_n = F_{n+2}-1$$
