群の定義
定義（群）
集合 $G$ と演算 $\cdot$ が次を満たすとき, $(G, \cdot)$ を群という.
- $\forall a, b, c \in G$, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- $\exists e \in G$ $\text{s.t.}$ $\forall a \in G$, $a \cdot e = e \cdot a =a$
- $\forall a \in G$ $\exists a' \in G$ $\text{s.t.} $ $a \cdot a' = a' \cdot a = e$
(1)を結合法則という. (2)の $e$ を単位元という. (3)の $a'$ を $a$ の逆元といい, $a^{-1}$ と表す.
例えば, $(\mathbb{Z}, +)$ と $(\mathbb{Q}, \times)$ はどちらも群です。
$(\mathbb{Z}, +)$ の単位元は $0$ で, $a \in \mathbb{Z}$ の逆元は $-a$ です。
$(\mathbb{Q}, \times)$ の単位元は $1$ で, $a \in \mathbb{Q}$ の逆元は $\frac{1}{a}$ です。
ただし, $(\mathbb{Z}, \times)$ は群ではありません。
