ベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の成分表示（２次元）

2次元ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$ について, 内積は $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta$ であった。 ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると, ベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ の大きさは $$ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta $$ で表せる（余弦定理より）。 一方, 成分表示から $$\begin{aligned} |\vec{a} - \vec{b}|^2 &= (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 \\ &= a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) \end{aligned}$$ と書ける。 余弦定理の式と成分表示の式を比較すると $$ |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) $$ となり, 両辺から $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ を引くと $$ - 2|\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta = - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) $$ とできる。すなわち $$ |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$ が得られる。 ゆえに, 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta$ と, $$ a_1 b_1 + a_2 b_2 $$ は一致する。