ベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の成分表示（２次元）

ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2)$ について, なす角を $\theta$ とすると, 内積は $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta$ であった。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る三角形について余弦定理を用いると, $$ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta $$ が得られる。

一方, $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ について成分表示をすると, $$\begin{aligned} |\vec{a} - \vec{b}|^2 &= (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 \\ &= a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) \end{aligned}$$ である。

余弦定理の式と成分表示の式を比較すると $$ - 2|\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta = - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) $$ とでき, $$ |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$ が得られる。

ゆえに, $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$ が成り立つ。