既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ だけならば有限小数であること

証明.

$\displaystyle r=\frac{p}{q}$ について, $p, q>0$ とする. 仮定から $a, b \geq 0$ を使い, $q = 2^a \cdot 5^b$ とできる.

ここで, $n:=\max\{a,b\} \geq 0$ とすると,

$q=10^n \cdot 2^{a-n} \cdot 5^{b-n}$

とできる. このとき,

$\displaystyle r=\frac{p}{q}$ $\displaystyle =\frac{p}{10^n \cdot 2^{a-n} \cdot 5^{b-n}}$ $\displaystyle =\frac{p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}}{10^n}$

である. $n-a, n-b \geq 0$ であるから, $2^{n-a}$ と $5^{n-b}$ は自然数である. したがって, 分子 $p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}$ は自然数である.

自然数を $10^n$ で割った結果の小数は 小数点以下 $n$ 桁で限られる有限小数である.

ゆえに, $\displaystyle r=\frac{p}{q}$ の $q$ の素因数が $2$ と $5$ のみであれば, $r$ は有限小数である.