同時確率分布（離散型）の定義
定義（同時確率分布）
起こりうる事象が $\{ w_{11}, w_{12}, \cdots, w_{mn}\}$ とする. $1 \leqq i \leqq m$, $1 \leqq j \leqq n$ について, $w_{ij}$ の起こる確率が $p_{ij}$ として, $\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n p_{ij} = 1$ を満たすとする.
$w_{ij}$ に対して, 2つの値 $x_i$ と $y_j$ を定める. このときの変数を $Z$ とする. 以上を, $P(Z=(x_i, y_j)) = p_{ij}$ と表す.
| $Z$ | $y_1$ | $\cdots$ | $y_n$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $\cdots$ | $p_{1n}$ | $p_1$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_m$ | $p_{m1}$ | $\cdots$ | $p_{mn}$ | $p_m$ |
| 計 | $q_1$ | $\cdots$ | $q_n$ | $1$ |
このように定義される確率分布を同時確率分布という.
硬貨を2枚投げる同時確率分布は次の通り。
硬貨が表ならば $1$, 裏ならば $0$ とする。1枚目の結果を $X$, 2枚目の結果を $Y$ とする。
| $(X,Y)$ | $0$ | $1$ | 計 |
| $0$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $1$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 計 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ |
$\displaystyle p_i = \sum_{j=1}^n p_{ij}$ とすると確率変数 $X$ は $P(X=x_i)=p_i$ を満たす確率分布に従う.
$\displaystyle q_j = \sum_{i=1}^m p_{ij}$ とすると確率変数 $Y$ は $P(Y=y_j)=q_j$ を満たす確率分布に従う.
したがって, $P(X=x_j, Y=y_j)=p_{ij}$ と表記できる.
