正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数の一次変換の再生性

確率変数 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ を $Y=aX+b$ と変形すると, $Y \sim N(a \mu + b, (a\sigma)^2)$ であることを確かめてみよう。

命題

$a, b \in \mathbb{R}$ $(a \neq 0)$ とする. 正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について, 確率変数 $Y=aX+b$ は正規分布 $N(a \mu + b, (a\sigma)^2)$ に従う.

証明.

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の確率密度関数は

$f_X(x)$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

であった. 確率変数の変換 $X \mapsto Y$ は, 確率密度関数において,

$f_X(x) dx = f_Y(y) dy$

が成り立つ必要がある.

$y=ax+b$ について, $dy = a dx$ であるが, 確率の値が正であることを保つ必要があることから, $dy = |a| dx$ である.

また, $\displaystyle -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ に $y=ax+b$ の関係式から $y$ に関する式にすると,

$\displaystyle -\frac{(y-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}$

となる. ここで, $f_Y(y)dy = f_X(x)dx$ を実際に計算すると,

$f_X(x)$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(\frac{x-b}{a}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \frac{1}{|a|}dy$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}|a|\sigma} e^{-\frac{(y-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}} dy$

となる. したがって, $Y$ の確率密度関数は

$\displaystyle f_Y(y) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}|a|\sigma} e^{-\frac{(y-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}}$

である. この式は, 平均値 $a\mu + b$, 標準偏差 $|a|\sigma$ の正規分布の確率密度関数を表している.

ゆえに, $Y \sim N(a\mu + b, (a\sigma)^2)$ である.

$N(50, 10^2)$ に従う確率変数を $X$ とすると,

$Y=2X -10$

という変換をした確率変数 $Y$ は, 正規分布 $N(90, 20^2)$ に従います。

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