正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の期待値が $\mu$ であることの証明
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の期待値が $\mu$ であることを確かめてみよう。
命題
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について,
$E[X] = \mu$
が成り立つ.
証明.
正規分布の確率密度関数は次の通りであった.
$f(x)$ $\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$
期待値 $E[X]$ の定義を実際に計算すると,
$\begin{aligned}
& E[X] \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} xe^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
\end{aligned}$
となる. ここで, $y = x-\mu$ と変数変換を行う.
$dy=dx$ であり, $y$ は $-\infty$ から $\infty$ を動く.
$\begin{aligned}
& E[X] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} (y + \mu)e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} y e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy \\
& \phantom{xxxx}+ \mu \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy
\end{aligned}$
ここで, 第一項目の被積分関数である $\displaystyle y e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}$ は奇関数であるため, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}$ での積分は $0$ となる.
また, 第二項目の被積分関数は $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}$ は $N(0, \sigma^2)$ の確率密度関数であるから, この積分の値は $1$ である.
ゆえに, $E[X] = \mu$ が成り立つ.
$N(50, 10^2)$ では, 期待値は $50$ です。
標準正規分布 $N(0,1^2)$ では, 期待値は $0$ です。
