標本平均の期待値について
母集団の期待値が $\mu$ のとき, 標本平均の期待値も $\mu$ になることを示してみよう。
命題
母集団分布 $D$ の期待値を $\mu$ とする. $D$ に従う独立な確率変数 $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_n$ の標本平均
$\displaystyle \overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$
について, 期待値は
$E[\overline{X}_n] = \mu$
が成り立つ.
証明.
独立な確率変数 $X$ と $Y$, 実数 $a$ と $b$ について,
$E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$
が成り立った.
したがって,
$\displaystyle E[\overline{X}_n]$ $\displaystyle = E\left[\frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)\right]$ $\displaystyle = \frac{1}{n}(E[X_1] + \cdots + E[X_n])$
となる. ここで, それぞれの確率変数は期待値 $\mu$ の確率分布に従うため,
$E[X_1] = E[X_2] = \cdots =E[X_n] = \mu$
である.
ゆえに, $E[\overline{X}_n] = \mu$ が成り立つ.
母集団の期待値が $10$ ならば,
$E[\overline{X}_1] = 10$,
$E[\overline{X}_2] = 10$,
$E[\overline{X}_3] = 10$
です。
