正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の $\mu \pm n \sigma$ での面積について

標準正規分布 $N(0, 1^2)$ に従う確率変数を $Z$ とし, その確率密度関数を $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$ とする。

数値積分等により, $Z$ が各区間に含まれる確率は次の通り計算される。 $$P(-1 \leq Z \leq 1) = \int_{-1}^{1} f(z) dz \fallingdotseq 0.6827$$

$$P(-2 \leq Z \leq 2) = \int_{-2}^{2} f(z) dz \fallingdotseq 0.9545$$

$$ P(-3 \leq Z \leq 3) = \int_{-3}^{3} f(z) dz \fallingdotseq 0.9973 $$

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について, $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ とおくと, $Z$ は標準正規分布 $N(0, 1^2)$ に従う。 このとき, $X = \sigma Z + \mu$ であり, 任意の自然数 $n$ に対して次の等式が成り立つ。 $$ \begin{aligned} & P(\mu - n\sigma \leq X \leq \mu + n\sigma) \\ &\quad = P(\mu - n\sigma \leq \sigma Z + \mu \leq \mu + n\sigma) \\ &\quad = P(-n\sigma \leq \sigma Z \leq n\sigma) \\ &\quad = P(-n \leq Z \leq n) \end{aligned} $$

$n = 1, 2, 3$ を代入すると, Step 1 の結果より $$ \begin{aligned} P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) &\fallingdotseq 0.68 \\ P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) &\fallingdotseq 0.95 \\ P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) &\fallingdotseq 0.99 \end{aligned} $$ が成り立つ。