正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の $\mu \pm n \sigma$ での面積について
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ において, $\mu \pm \sigma$ での確率が約 $68\%$, $\mu \pm 2\sigma$ での確率が約 $95\%$, $\mu \pm 3\sigma$ での確率が約 $99\%$ であることを確かめてみよう。
性質
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について,
$P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma)$ $\fallingdotseq 0.68$,
$P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)$ $\fallingdotseq 0.95$,
$P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma)$ $\fallingdotseq 0.99$
が成り立つ.
証明.
標準正規分布 $N(0, 1^2)$ に従う確率変数を $Z$ とする. この確率密度関数
$f(x)$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} $
において, 実際に
$P(-1 \leq Z \leq 1)$ $= 0.6827 \cdots$,
$P(-2 \leq Z \leq 2)$ $= 0.9545 \cdots$,
$P(-3 \leq Z \leq 3)$ $= 0.9973 \cdots$
が成り立つ.
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について, 標準化 $\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ を行えば, $Z$ は標準正規分布に従う. また, $n$ を自然数とすれば,
$P(\mu - n\sigma \leq X \leq \mu + n \sigma)$
$=P(\mu - n\sigma \leq \sigma Z+ \mu \leq \mu + n \sigma)$
$=P(- n\sigma \leq \sigma Z \leq n \sigma)$
$=P(- n \leq Z \leq n)$
が成り立つ.
ゆえに, $n=1$, $2$, $3$ とすれば,
$P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma)$ $\fallingdotseq 0.68$,
$P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)$ $\fallingdotseq 0.95$,
$P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma)$ $\fallingdotseq 0.99$
が成り立つ.
$N(50, 10^2)$ では,
$P(40 \leq X \leq 60)$ $\fallingdotseq 0.68$,
$P(30 \leq X \leq 70)$ $\fallingdotseq 0.95$,
$P(20 \leq X \leq 80)$ $\fallingdotseq 0.99$
です。
