正規分布 $N(m,\sigma^2)$ の確率密度関数について
正規分布の確率密度関数 $f$ について, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ であることを確かめてみよう。
命題
$\mu \in \mathbb{R}$, $\sigma>0$ であるとき,
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
とする. このとき, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ である.
証明.
次のガウス積分を仮定して, 命題を示す.
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dx=\sqrt{\pi}$
関数 $f(x)$ について, $x$ から $t$ に変数変換 $\displaystyle t = \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}$ を行う. このとき, $-\infty < t < \infty$ であり, $dt = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \sigma}dx$ である.
したがって,
$\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \\
& \displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \right)^2} \cdot \frac{dx}{\sqrt{2}\sigma} \\
& \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}dt
\end{aligned}$
となる. ガウス積分を仮定すると,
$\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}dt \\
& = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt \\
& = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} \\
& = 1. \\
\end{aligned}$
が得られる.
ゆえに, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ が成り立つ.
次のグラフのいずれも面積が $1$ である.
