正射影ベクトルの公式
公式（正射影ベクトル）
正射影ベクトルは $$\left( \vec{b} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$$ と表すことができる.
正射影ベクトルを内積を使って表す公式を導出してみよう。
$\displaystyle \vec{b} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ は $|\vec{b}| \cos \theta$ なので, $\vec{b}$ の$\vec{a}$ 方向の成分です。$\displaystyle \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ は $\vec{a}$ と同方向の単位ベクトルです。だから, 公式は $\vec{b}$ を $\vec{a}$ 方向に射影したベクトルになっている！
証明.
$\displaystyle \vec{x} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$ と置く.
$\vec{x} // \vec{a}$ は自明である. $\vec{b}$ と $\vec{a}$ のなす角が鋭角ならば $\vec{b} \cdot \vec{a} >0$ であるので, $\vec{x}$ と $\vec{a}$ は同じ方向を向いている. $\vec{b}$ と $\vec{a}$ のなす角が鈍角ならば $\vec{b} \cdot \vec{a} <0$ であるので, $\vec{x}$ と $\vec{a}$ は逆方向を向いている.
$|\vec{x}|$ の大きさを計算する.
$$\begin{aligned}
|\vec{x}| &= \left|\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} \right| \\
& = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|^2} \cdot |\vec{a}| \\
& = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} \\
& = \frac{|\vec{b}| |\vec{a}| |\cos \theta |}{|\vec{a}|} \\
& = |\cos \theta| |\vec{b}|.
\end{aligned}$$
ゆえに, $\displaystyle \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$ は正射影ベクトルである.
