正射影ベクトルの公式
$\vec{a} \neq 0$ とする。ベクトル $\vec{b}$ のベクトル $\vec{a}$ への正射影ベクトル $\vec{b}_a$ は, $$ \vec{b}_a = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} $$ で表される。
$\displaystyle \vec{x} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$ と置き, $\vec{x}$ が $\vec{b}$ の $\vec{a}$ への正射影ベクトル $\vec{b}_a$ であることを示す。
ベクトル $\vec{b}$ のベクトル $\vec{a}$ への正射影ベクトルとは, $\vec{b} = \vec{b}_a + \vec{b}^{\perp}$ と分解したときの $\vec{b}_a$ であった。 ここで, $\vec{b}_a$ は $\vec{b}_a // \vec{a}$ を満たし, $\vec{b}^{\perp}$ は $\vec{b}^{\perp} \perp \vec{a}$ を満たすベクトルである。
$\vec{x}$ は $\vec{a}$ と平行であることは自明である。
ベクトル $\vec{b} - \vec{x}$ が $\vec{a}$ と直交することを示す。 実際, 内積を計算すると $$ (\vec{b} - \vec{x}) \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} |\vec{a}|^2 = 0. $$ よって, $(\vec{b} - \vec{x}) \perp \vec{a}$ である。
①②より, $\vec{x}$ は正射影ベクトルの定義を満たす。ゆえに, $\vec{x}$ は $\vec{b}$ の $\vec{a}$ への正射影ベクトルである。
