漸化式 $a_{n+1} = pa_n + r^{n+1}$ の一般項を求める
漸化式 $$a_{n+1} = pa_n + r^{n+1}$$ について,
- $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}= \frac{p}{r} \cdot \frac{a_n}{r^n} +1$ と変形する。
- $b_n = a_n/r^n$ とおく。
- $b_{n+1} = \frac{p}{r}b_n + 1$ から, $\{ b_n \}$ の一般項を導出する。
という手順で $\{b_n\}$ の一般項から, $a_n = r^n \cdot b_n$ によって, $\{a_n\}$ の一般項を導出できる。
例題：$a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1}, \quad a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
与えられた漸化式の両辺を $2^{n+1}$ で割る。 $$ \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{4a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^{n+1}}{2^{n+1}} $$ 右辺の第1項を $\frac{a_n}{2^n}$ が現れるように整理すると： $$ \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = 2 \cdot \frac{a_n}{2^n} + 1 \quad \cdots ① $$
$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、①は $b_{n+1} = 2b_n + 1$ となる。
この特性方程式 $x = 2x + 1$ を解くと $x = -1$ なので、次のように変形できる。
$$ b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1) $$
これは、数列 $\{b_n + 1\}$ が初項 $b_1 + 1$, 公比 $2$ の等比数列であることを示している。
初項 $b_1 + 1$ は： $$ b_1 + 1 = \frac{a_1}{2^1} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $$
数列 $\{b_n + 1\}$ の一般項は： $$ b_n + 1 = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-2} $$ $b_n$ について解くと： $$ b_n = 3 \cdot 2^{n-2} - 1 $$ 最後に $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ を代入して元に戻すと： $$ \begin{aligned} \frac{a_n}{2^n} &= 3 \cdot 2^{n-2} - 1 \\[8pt] a_n &= 3 \cdot 2^{n-2} \cdot 2^n - 2^n \\[5pt] a_n &= 3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n \end{aligned} $$
数列 $\{a_n\}$ は $1$, $4$, $12$, $32$, $80$, $\cdots $ です。
これを $\{ 2^{n-1} \}$ で順番に割っていくと, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $\cdots$ になります。だから, この数列の一般項は $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ になります。
