漸化式 $a_{n+1} = pa_n + r^n$ の一般項を求める
漸化式 $a_{n＋1} = pa_n + r^n$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。
基本の解法
漸化式 $a_{n＋1} = pa_n + r^n$ を $r^n$ で割り, $$\frac{a_{n+1}}{r^n} = \frac{p}{r} \cdot \frac{a_n}{r^{n-1}} +1$$ の形を作る。$\displaystyle b_n = \frac{a_n}{r^{n-1}}$ と置くことで, $$b_{n+1} = \frac{p}{r}b_n + 1$$ という漸化式を得る。数列 $\{ b_n \}$ の一般項を導出することで, $\{ a_n \}$ の一般項を求める。
※場合によっては, $r^{n+1}$ で割ったほうがいい。
解法. 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n +2^n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
漸化式 $a_{n+1} = 2a_n +2^n$ の両辺を $2^n$ で割ると$$\frac{a_{n+1}}{2^n} = \frac{a_n}{2^{n-1}} +1$$ となる。$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$ と置くと, 漸化式 $b_{n+1} = b_n +1$ を得る。
数列$\{ b_n \}$ は, 初項 $1$, 公差 $1$ の等差数列であるから, $b_n = n$ である。
$\displaystyle b_1 = \frac{a_1}{2^{1-1}}=1$.
したがって, $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ と分かる。
たとえば, 漸化式
$a_{n+1} = 2a_n +2^n$, $a_1 = 1$
数列 $\{a_n\}$ は
$1$, $4$, $12$, $32$, $80$, $\cdots $
です。
これを $\{ 2^{n-1} \}$ で順番に割っていくと,
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $\cdots$
になります。だから, この数列の一般項は
$a_n = n \cdot 2^{n-1}$
になります。
