同じものを含む順列について

理屈.

すべて異なる $n$ 個のものを一列に並べる順列の総数は $n!$ 通りであった.

この任意の並べ方のうち, $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_s$ 番目の$s$ 箇所に着目する.

$n-s$ 箇所のものは並べ変えずに, この $s$ 箇所のものだけを並べ変えるとすると, その並べ変え方の総数は $s!$ 通りである.

$x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_s$ 番目にあるものが同じものであった場合, この $s!$ 通りの並び替えを行ったとしても $n$ 個の並び方は同じままである.

つまり, 異なるもの $n$ 個のうち, $s$ 個を同じものとすると, 各並び方に対して $s!$ 通りずつ同じ並び方が重複することになる.

ゆえに, $n$ 個のうち $s$ 個が同じものであるときの順列の総数は $\displaystyle \frac{n!}{s!}$ 通りであると分かる.

さらに, 残りの $n-s$ 個の中に他の同じものが存在する場合は, 上記の考え方を繰り返すことで, $n$ 個のうち, $s$ 個, $t$ 個, $\cdots$ ずつ同じものある場合の順列の総数が

$\displaystyle \frac{n!}{s! \cdot t! \cdot \cdots}$

と分かる.