2次関数のグラフが放物線の定義を満たすことの証明
性質（2次関数のグラフは放物線）
2次関数 $y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$ のグラフは放物線である.
放物線の焦点は $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, \frac{1}{4a} -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$, 準線は $\displaystyle y=-\frac{1}{4a} -\frac{b^2-4ac}{4a}$ である.
2次関数のグラフが放物線の定義を満たすことを証明してみよう。
例えば, 2次関数 $\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$ のグラフは, 焦点 $\displaystyle ( 0, 1)$, 準線 $y = -1$ の放物線になります。
証明.
任意の2次関数は平行移動することで $y =ax^2(a\neq 0)$ とすることができる.
平行移動してもグラフの形状は変わらない.
点 $\displaystyle \mathrm{F} \left(0, \frac{1}{4a} \right)$ が焦点, 直線 $\displaystyle \ell : y=-\frac{1}{4a}$ が準線として存在し, 放物線の定義を満たすことを以下確かめる.
曲線上の任意の点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}$ とする. このとき, $$\displaystyle \mathrm{PF} = \mathrm{PH}$$ であることが放物線の定義である.
座標平面上で2次関数のグラフ $y = ax^2$ 上の任意の点 $\mathrm{P}$ を $(t, at^2)$ とおく.
線分 $\mathrm{PF}$ と $\mathrm{PH}$ の長さを座標で表すと
$\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{PF} &= \sqrt{t^2 + \left(at^2 - \frac{1}{4a} \right)^2} \\
\mathrm{PH} &= \left| at^2 - \left( -\frac{1}{4a} \right) \right|
\end{aligned}$
となる. 線分 $\mathrm{PF}$ の長さの式を計算すると,
$$\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{PF} &= \sqrt{t^2 + \left(at^2 - \frac{1}{4a} \right)^2} \\
&= \sqrt{t^2 + \left(a^2t^4 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{16a^2} \right)} \\
&= \sqrt{a^2t^4 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{16a^2} } \\
&= \sqrt{\left(at^2 + \frac{1}{4a} \right)^2} \\
&= \left| at^2 + \frac{1}{4a} \right|
\end{aligned}$$
となり, 線分 $\mathrm{PF}$ の長さと一致することが確かめられた。
$\displaystyle \mathrm{PF} = \mathrm{PH}$ より, 2次関数 $y=ax^2$ のグラフは放物線の定義を満たすことが言えた.
ゆえに, 任意の2次関数のグラフも放物線の定義を満たすことが言える.
