相関係数 $r$ は $\cos \theta$ である

ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ について, 内積の定義より, $$ \cos\theta =\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|} =\frac{\displaystyle \frac{1}{n}\vec{x}\cdot\vec{y}} {\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{x}|\right) \left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{y}|\right)} $$ と変形できる。

この式の分子 $\frac{1}{n}\vec{x}\cdot\vec{y}$ は, $$ \frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\cdots+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})}{n} $$ であり, これはデータ $x$ と $y$ の共分散である。

また, 分母について, $$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{x}| &=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}, \\ \frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{y}| &=\sqrt{\frac{(y_1-\bar{y})^2+\cdots+(y_n-\bar{y})^2}{n}} \end{aligned} $$ であり, それぞれデータ $x$，$y$ の標準偏差である。

共分散をそれぞれの標準偏差で割ったものが相関係数であるから， $$ r =\frac{\text{共分散}}{\text{標準偏差} \times \text{標準偏差}} =\cos\theta $$ が成り立つ。

ゆえに, データ $x$ と $y$ について, $r =\cos \theta$ が成立する.