漸化式 $a_{n+1} = \frac{ra_n}{pa_n+q}$ の一般項を求める
漸化式 $$\displaystyle a_{n＋1} = \frac{ra_n}{pa_n+q}$$ について,
- $\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{p}{r} \cdot \frac{1}{a_n} + \frac{q}{r}$ と変形する。
- $\displaystyle b_n = 1/a_n$ とおく。
- $b_{n+1} = \frac{p}{r}b_n + \frac{q}{r}$ から, 数列 $\{ b_n \}$ の一般項を導出する。
という手順で $\{b_n\}$ の一般項から, $a_n = 1/ b_n$ によって, $\{a_n\}$ の一般項を導出できる。
例題：$\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}, \quad a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
$a_{n+1}=0$ と仮定すると $a_n=0$ となり, これを繰り返すと $a_1=0$ となる。これは $a_1=1$ に矛盾するため, すべての自然数 $n$ について $a_n \neq 0$ である。
これにより, 漸化式の両辺の逆数をとることができる。
両辺の逆数をとって整理する。 $$ \begin{aligned} \frac{1}{a_{n+1}} &= \frac{2a_n + 3}{a_n} \\[8pt] \frac{1}{a_{n+1}} &= 3 \cdot \frac{1}{a_n} + 2 \end{aligned} $$ $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと, $b_{n+1} = 3b_n + 2$ となる。
特性方程式 $x = 3x + 2$ より $x = -1$ となるため, 次のように変形できる。 $$ b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1) $$ 数列 $\{b_n + 1\}$ は, 初項 $b_1 + 1 = \frac{1}{a_1} + 1 = 2$, 公比 $3$ の等比数列である。 $$ \begin{aligned} b_n + 1 &= 2 \cdot 3^{n-1} \\[5pt] b_n &= 2 \cdot 3^{n-1} - 1 \end{aligned} $$
$b_n = \frac{1}{a_n}$ であるから, 最後に逆数をとって元に戻す。 $$ a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1} $$
これを逆数にすると, $1$, $5$, $17$, $53$, $161$, $\cdots$ になります。この数列 $\{ b_n \}$ は, 3倍して2を足していく関係なので, 漸化式 $$b_{n+1} = 3b_n + 2$$ が得られます。これから, $$a_n= \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$$ になります。
