漸化式 $a_{n+1} = \frac{ra_n}{pa_n+q}$ の一般項を求める
漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{ra_n}{pa_n+1}$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。
基本の解法
漸化式 $\displaystyle a_{n＋1} = \frac{ra_n}{pa_n+q}$ の両辺の逆数 $$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{p}{r} \cdot \frac{1}{a_n} + \frac{q}{r}$$ の形を作る。
任意の $n \in \mathbb{N}$ について $a_n \neq 0$ であるときにしか使えない。
$\displaystyle b_n = \frac{1}{a_n}$ と置くことで, $$b_{n+1} = \frac{p}{r}b_n + \frac{q}{r}$$ という漸化式を得る。
数列 $\{ b_n \}$ の一般項を導出することで, $\{ a_n \}$ の一般項を求める。
解法. 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ の両辺の逆数を考えると $$\frac{1}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{1}{a_n} + 2$$ となる。
ある $n \in \mathbb{N}$ について $a_{n+1} =0$ であるとすると, $\displaystyle 0 = \frac{a_n}{2a_n+3}$ が成り立ち, $a_n = 0$ である必要がある。帰納的に $a_1 = 0$ となり矛盾する。よって, この数列 $\{ a_n \}_n$ は任意の $n \in \mathbb{N}$ について $a_{n} \neq 0$ である。
$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ と置くと, 漸化式 $b_{n+1} = 3b_n +2$ を得る。
$\displaystyle b_{n+1} + 1=3(b_n + 1)$.
数列$\{ b_n +1 \}_n$ は, 初項 $\displaystyle b_1 + 1 = \frac{1}{a_1} + 1 = 2$, 公差 $3$ の等比数列であるから, $b_n +1 = 2 \cdot 3^{n-1}$ である。$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ であったから, 数列 $\{ a_n\}$ の一般項を求めると $$a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$$ である。
たとえば, 漸化式
$\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$, $a_1 = 1$
の数列 $\{a_n \}$ は
$1$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{17}$, $\frac{1}{53}$, $\frac{1}{161}$, $\cdots$
です。これを逆数にすると,
$1$, $5$, $17$, $53$, $161$, $\cdots$
になります。この数列 $\{ b_n \}$ は, 3倍して2を足していく関係なので, 漸化式 $b_{n+1} = 3b_n + 2$ が得られます。これから,
$a_n$ $\displaystyle = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$
になります。
