漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ の一般項を求める【階差数列の利用】
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。
基本の解法
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ について, $a_{n+2} = ra_{n+1} + (p(n+1)+q)$ を考える。これらの両辺をそれぞれ引くことで
$$\begin{array}{ccccc} a_{n+2} &=& ra_{n+1} &+& p(n+1)+q \\ a_{n+1} &=& ra_n &+& pn+q \\ \hline a_{n+2} - a_{n+1} &=& r(a_{n+1} - a_n) &+& p \end{array}$$
となる。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と置けば, $b_{n+1} = rb_n +p$ を得る。
数列 $\{ b_n \}$ は数列 $\{ a_n \}$ の階差数列である。
この漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることができる。
解法. 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ について, $a_{n＋2} = 3a_{n+1} + 4(n+1)$ を考える。
$$\begin{array}{cccccc} & a_{n+2} &=& 3a_{n+1} &+& 4(n+1) \\ - & a_{n+1} &=& 3a_n &+& 4n \\ \hline & a_{n+2} - a_{n+1} &=& 3(a_{n+1} - a_n) & +& 4 \end{array}$$
となる。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と置けば, $b_{n+1} = 3b_n +4$ を得る。
$b_{n+1} + 2= 3(b_n + 2)$
数列$\{ b_n + 2 \}_n$ は, 初項 $b_1 + 2 = 8$, 公比 $3$ の等比数列である。
$\displaystyle b_1 = a_2 - a_1=7-1=6$. $(\because a_2 = 3a_1 + 4 \cdot 1 = 7.)$
ゆえに, $b_n +2 = 8 \cdot 3^{n-1}$ であり $b_n = 8 \cdot 3^{n-1} -2$ と分かる。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と定めたから $n \geqq 2$ のとき $$\begin{aligned} a_n & =1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^{k-1} - 2) \\ &=1 + \frac{8(3^{n-1}-1)}{3-1} - 2(n-1) \\ &= 1 + 4(3^{n-1} - 1) - 2(n-1) \\ &= 4 \cdot 3^{n-1} -(2n +1). \end{aligned}$$
$a_{n+1} -a_n = b_n$ のとき, $n \geqq 2$ において $\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ である。
したがって, $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n +1)$ と分かる。
$n=1$ のとき, $\displaystyle 4 \cdot 3^{n-1} - (2n +1) = 1 = a_1$ である。$n=1$ のときも求めた一般項は成り立つ。
たとえば, 漸化式
$a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$
の数列 $\{a_n\}$ は
$1$, $7$, $29$, $99$, $313$, $\cdots$
です。この階差数列 $\{ b_n \}$ は
$6$, $22$, $70$, $214$, $\cdots$
になります。３倍して４を加えると次の数になるので
$b_{n+1} = 3b_n + 4$
という漸化式ができます。これから, 数列 $\{ a_n \}$ の一般項は
$a_n$ $= 4 \cdot 3^{n-1} $ $- (2n +1)$
になります。
