漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ の一般項を求める【階差数列の利用】
漸化式 $$a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$$ について,
- $a_{n+2} = ra_{n+1} + (p(n+1)+q)$ と $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ の項ごとの差を考えると, $a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n) + p$ を得る。
- $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおく。
- $b_{n+1} = rb_n +p$ から, 数列 $\{ b_n \}$ の一般項を導出する。
という手順で $a_{n+1} -a_n= b_n$ によって, $\{b_n\}$ を階差数列として, $\{a_n\}$ の一般項を導出できる。
例題：$a_{n+1} = 3a_n + 4n, \quad a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
隣接する2つの項の関係式を並べて引き算を行う。 $$ \begin{aligned} (n+1)\text{項：} & a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4(n+1) \\ n\text{項：} & a_{n+1} = 3a_n + 4n \end{aligned} $$ 辺々を引くと： $$ (a_{n+2} - a_{n+1}) = 3(a_{n+1} - a_n) + 4 $$ $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと, 次の漸化式が得られる。 $$ b_{n+1} = 3b_n + 4 $$
特性方程式 $x = 3x + 4$ より $x = -2$ となるため： $$ b_{n+1} + 2 = 3(b_n + 2) $$ 初項 $b_1 = a_2 - a_1 = (3 \cdot 1 + 4 \cdot 1) - 1 = 6$ であるから, $b_1 + 2 = 8$。 $$ \begin{aligned} b_n + 2 &= 8 \cdot 3^{n-1} \\[5pt] b_n &= 8 \cdot 3^{n-1} - 2 \end{aligned} $$
階差数列の公式 $\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ を適用する。 $$ \begin{aligned} a_n &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^{k-1} - 2) \\[8pt] &= 1 + \frac{8(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} - 2(n-1) \\[5pt] &= 4 \cdot 3^{n-1} - (2n + 1) \end{aligned} $$
$n=1$ を代入すると $4 \cdot 3^0 - (2 \cdot 1 + 1) = 4 - 3 = 1$ となり, $a_1=1$ と一致する。 よって, 求める一般項は： $$ a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n + 1) $$
この階差数列 $\{ b_n \}$ は $6$, $22$, $70$, $214$, $\cdots$ になります。 ３倍して４を加えると次の数になるので $$b_{n+1} = 3b_n + 4$$ という漸化式ができます。これから, 数列 $\{ a_n \}$ の一般項は $$a_n$ $= 4 \cdot 3^{n-1} $ $- (2n +1)$$ になります。
