漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ の一般項を求める【一次式の利用】
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。
例えば, 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の場合, 一般項は $\displaystyle a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n +1)$ です。
数列 $\{a_n \}$ は $$1, \ 7, \ 29, \ 99, \ 313, \ \cdots $$ です。この数列に $\{2n+1\}_n$ の項を順番に加えると $$4, \ 12, \ 36, \ 108, \ 324, \ \cdots $$
になります。初項４, 公比３の等比数列になります。これから, $\{ a_n \}$ の一般項を求められます！
基本の解法
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ について, $$a_{n+1} + (s(n+1)+t) = r\{ a_n + (sn+t) \}$$ となる $s$ と $t$ を考える。$b_n = a_n + (sn+t)$ と置く。
数列 $\{b_n \}$ は $b_{n+1} = rb_n$ を満たす等比数列である。
$$\begin{aligned}
\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1} +s(n+1)+t}{a_n+(sn+t)} \\
& = \frac{ra_n + pn+q +s(n+1)+t}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{ra_n + (p+s)n + (q+s+t)}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{r\{a_n + \frac{p+s}{r}n + \frac{q+s+t}{r} \}}{a_n+sn+t}
\end{aligned}$$ より, $\displaystyle \frac{p+s}{r} = s$ かつ $\displaystyle \frac{q+s+t}{r}=t$ であれば, $$\frac{b_{n+1}}{b_n} = r$$ となり, $b_n$ から $b_{n+1}$ の増分が定数 $r$ 倍の変化に制御できることが分かる。
以上から $b_n = (a_1 + s+t) r^{n-1}$ を得ることで, 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることができる。
ちなみに, $\displaystyle s = \frac{p}{r-1}$, $\displaystyle t = \frac{q+s}{r-1}$ である。
解法. 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ について, もし $$\displaystyle \frac{a_{n+1} + s(n+1) + t}{a_n + sn + t}=3$$ となる実数 $s, t$ が存在すれば, $b_n = a_n + sn+t$ と置いた数列 $\{ b_n\}$ は漸化式 $\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n} =3$ を満たすことが言える。
$$\begin{aligned}
\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1} +s(n+1)+t}{a_n+(sn+t)} \\
& = \frac{3a_n + 4n +s(n+1)+t}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{3a_n + (4+s)n + (s+t)}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{3\{a_n + \frac{4+s}{3}n + \frac{s+t}{3} \}}{a_n+sn+t}
\end{aligned}$$
以上から, $\displaystyle \frac{4+s}{3} = s$ かつ $\displaystyle \frac{s+t}{3}=t$ を満たす $s = 2$, $t=1$ を取ればよいことが分かる。
$b_n = a_n + 2n+1$ は初項 $b_1 = a_1 + 2+1 = 4$, 公比 $3$ の等比数列であるので, $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ と一般項を導ける。
ゆえに, $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n+1)$ である。
