漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ の一般項を求める【一次式の利用】
漸化式 $$a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$$ について,
- $a_{n+1} + (s(n+1)+t)= r\{ a_n + (sn+t) \}$ と変形する。
- $b_n = a_n +(sn+t)$ とおく。
- $b_{n+1} = rb_n$ から, 等比数列 $\{ b_n \}$ の一般項を導出する。
という手順で $\{b_n\}$ の一般項から, $a_n = b_n -(sn+t)$ によって, $\{a_n\}$ の一般項を導出できる。
例題：$a_{n+1} = 3a_n + 4n, \quad a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
漸化式を次のような等比数列の形に変形することを目指す。 $$ a_{n+1} + s(n+1) + t = 3(a_n + sn + t) \quad \cdots ① $$ この式を展開して整理すると： $$ a_{n+1} = 3a_n + 2sn + (2t - s) $$ これが元の漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ と一致するように係数を比較する。
$n$ の係数と定数項をそれぞれ比較して連立方程式 $$ \begin{cases} 2s = 4 \\ 2t - s = 0 \end{cases} $$ を解くと, $s = 2, t = 1$ となる。 よって, ①は次のように書き換えられる。 $$ a_{n+1} + 2(n+1) + 1 = 3(a_n + 2n + 1) $$
$b_n = a_n + 2n + 1$ とおくと, $b_{n+1} = 3b_n$ となる。
初項 $b_1$ は：
$$ b_1 = a_1 + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 $$
したがって, 数列 $\{b_n\}$ の一般項は：
$$ b_n = 4 \cdot 3^{n-1} $$
$b_n = a_n + 2n + 1$ より, $a_n$ を求めると： $$ a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n + 1) $$
この数列に $\{2n+1\}_n$ の項を順番に加えると $4$, $12$, $36$, $108$, $324$, $\cdots$ といった初項４, 公比３の等比数列になります。だから, $\{a_n\}$ の一般項は $$a_n= 4 \cdot 3^{n-1} - (2n +1)$$ になります。
