フィボナッチ数列の比の極限が黄金比であることの証明
フィボナッチ数列の比の極限が黄金比 $\displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $\fallingdotseq 1.618$ に収束することを証明してみよう。
命題
フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi$
が成り立つ. ただし, $\displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ である.
証明.
フィボナッチ数列の一般項の式（ビネーの公式）を利用して命題を示す.
$F_n$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \phi^n - \left(-\phi^{-1} \right)^n \right\}$
フィボナッチ数列の比を計算する.
$\begin{aligned}
&\frac{F_{n+1}}{F_n} \\
&=\frac{ \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \phi^{n+1} - \left(-\phi^{-1} \right)^{n+1} \right\}}{ \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \phi^n - \left(-\phi^{-1} \right)^n \right\}}\\
&=\frac{\phi^{n+1} - \left(-\phi^{-1} \right)^{n+1}}{\phi^n - \left(-\phi^{-1} \right)^n} \\
&=\frac{\phi + \phi^{-1}(-\phi^{-2})^{n}}{1 - (-\phi^{-2} )^n}
\end{aligned}$
最後の計算は分母と分子を $\phi^n$ で割っている.
ここで, $0<\phi^{-2}<1$ であるから,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-\phi^{-2})^n = 0$
が成り立つ.
ゆえに, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi$ が成り立つ.
$F_2/F_1$ $=1$
$F_3/F_2$ $=2$
$F_4/F_3$ $=1.5$
$F_5/F_4$ $\fallingdotseq1.66$
$F_6/F_5$ $=1.6$
$F_7/F_6$ $=1.625$
$F_8/F_7$ $\fallingdotseq1.615$
です。
