フィボナッチ数列の比の極限が黄金比であることの証明
フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について, 隣接する項の比は $n$ を無限大に大きくするとき, 黄金比 $\phi$ に収束する。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi $$ ただし, $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ である。
$F_3/F_2$ $=2$,
$F_4/F_3$ $=1.5$,
$F_5/F_4 \fallingdotseq1.66$,
$F_6/F_5 =1.6$,
$F_7/F_6 =1.625$,
$F_8/F_7 \fallingdotseq1.615$,
ビネーの公式を利用して, $\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \phi$ を示す。 ここで $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とおくと, $\frac{1-\sqrt{5}}{2} = - \phi^{-1}$ である。 ビネー公式は $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \{ \phi^n - (-\phi^{-1})^n \}$ と表される。
$$ \begin{aligned} \frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\phi^{n+1} - (-\phi^{-1})^{n+1}}{\phi^n - (-\phi^{-1})^n} \\[10pt] &= \frac{\phi^n \cdot \phi - \phi^n \cdot (-\phi^{-1})(-\phi^{-2})^n}{\phi^n \{ 1 - (-\phi^{-2})^n \}} \end{aligned} $$ 分母と分子を $\phi^n$ で割ると, 次のようになる。 $$ \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{\phi - (-\phi^{-1})(-\phi^{-2})^n}{1 - (-\phi^{-2})^n} $$
ここで, $|-\phi^{-2}| = | \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} | < 1$ である。 よって $n \to \infty$ のとき, $$ \lim_{n \to \infty} (-\phi^{-2})^n = 0 $$ となる。これより, $$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\phi - (-\phi^{-1}) \cdot 0}{1 - 0} \\[5pt] &= \phi \end{aligned} $$ が導かれる。
