漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ から一般項を導く
漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ から数列 $\{a_n \}$ の一般項を導出してみよう。
漸化式から一般項を導く解法（特性方程式の利用）
漸化式 $$a_{n+1} = pa_n + q$$ について,
- $a_{n+1} - x = p(a_n - x)$ と変形する。
- $b_n = a_n - x$ とおく。
- $b_{n+1} = p \cdot b_n$ から, 等比数列 $\{b_n\}$ の一般項を導出する。（$b_n = b_1 \cdot p^{n-1}$）
解法の(1)の $x$ は $x =px + q$ の解に一致する。
なぜならば, 元の漸化式からこの式の両辺をそれぞれ引くと
$$\begin{aligned}
a_{n+1} &= pa_n + q \\
x &= px + q \\ \hline
a_{n+1} - x &= p(a_n - x)
\end{aligned}$$ となる。つまり, $x = px +q$ を満たす $x$ があれば, 数列 $\{ a_n \}$ は $a_{n+1} -x = p(a_n-x)$ と変形できる。
a_{n+1} &= pa_n + q \\
x &= px + q \\ \hline
a_{n+1} - x &= p(a_n - x)
\end{aligned}$$ となる。つまり, $x = px +q$ を満たす $x$ があれば, 数列 $\{ a_n \}$ は $a_{n+1} -x = p(a_n-x)$ と変形できる。
例題：特性方程式による漸化式の変形
漸化式：$a_{n+1} = 2a_n - 1, \quad a_1 = 3$ から数列 $\{a_n\}$ の一般項を導出する。
§特性方程式による $x$ の特定
漸化式を $a_{n+1} - x = 2(a_n - x)$ の形に変形するため, 特性方程式 $x = 2x - 1$ を考える。 この解 $x=1$ を用いて, 与式は次のように変形できる。 $$ a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1) \quad \cdots ① $$
$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ を計算すると, ちゃんと $a_{n+1} = 2a_n - 1$ と同じになる。
§等比数列 $\{ b_n \}$ の漸化式
$b_n = a_n - 1$ とおくと, ①より $b_{n+1} = 2b_n$ となる。
これは数列 $\{b_n\}$ が公比 2 の等比数列であることを示している。
初項 $b_1$ は：
$$ b_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2 $$
§$\{ b_n \}$ の一般項の導出
等比数列 $\{b_n\}$ の一般項は： $$ \begin{aligned} b_n &= b_1 \cdot 2^{n-1} \\[5pt] &= 2 \cdot 2^{n-1} \\[5pt] &= 2^n \end{aligned} $$
§結論
最後に $a_n$ に戻すと, 求める一般項が得られる。 $$ \begin{aligned} a_n - 1 &= 2^n \\ a_n &= 2^n + 1 \end{aligned} $$
たとえば, 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n -1$, $a_1 = 3$ の数列 $\{ a_n \}$ は $3$, $5$, $9$, $17$, $\cdots$ です。
数列 $\{ b_n \}$ を $b_n = a_n -1$ とすると $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$ となります。
$b_n = 2^n$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項は $a_n = 2^n + 1$ と分かります。
数列 $\{ b_n \}$ を $b_n = a_n -1$ とすると $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$ となります。
$b_n = 2^n$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項は $a_n = 2^n + 1$ と分かります。
