漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ から一般項を導く
漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。
例えば, 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n -1$, $a_1 = 3$ の場合, 一般項は $a_n = 2^n + 1$ です。
数列 $\{ a_n \}$ は $a_{n+1} = 2a_n -1$ から $$3, \ 5, \ 9, \ 17, \ \cdots$$ と分かります。数列 $\{ b_n \}$ を $b_n = a_n -1$ とすると $$2, \ 4, \ 8, \ 16, \ \cdots$$ となります。$b_n = 2^n$ から数列 $\{ a_n \}$ の一般項が分かる！
基本の解法
漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ $(p \neq 1)$ から一般項を導く解法
- $a_{n+1} - x = p(a_n - x)$ と変形する。
- $b_n = a_n - x$ と定義して, $b_{n+1} = p \cdot b_n$ を得る。
- $\{ b_n \}$ は公比 $p$, 初項 $b_1 = a_1 -x$ の等比数列と認識する。
- $\{ b_n \}$ から $\{ a_n \}$ の一般項を導く。
(1)の解説
$x$ は $x =px + q$ の解
に一致する。 なぜならば, 元の漸化式からこの式の両辺をそれぞれ引くと$$\begin{aligned} a_{n+1} &= pa_n + q \\ x &= px + q \\ \hline a_{n+1} - x &= p(a_n - x) \end{aligned}$$ となり, $a_{n+1} -x= p(a_n -x)$ を得ることができる。つまり, $x = px +q$ を満たす $x$ があれば, $a_{n+1} -x = p(a_n-x)$ を満たすこととなる。
例題. 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n -1$ から数列 $\{ a_n \}$ の一般項を導きなさい。
$a_{n+1} = 2a_n -1$ から $x = 2x-1$ を考える。これを解くと $x=1$ となる。
例の漸化式は $$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$$ と変形できる。
$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ を計算すると, ちゃんと $a_{n+1} = 2a_n - 1$ と同じになる。
$b_n = a_n -1$ という数列を定義すると, $b_{n+1} = a_{n+1}-1$ である。これを当てはめると $b_{n+1} = 2 b_n$ となる。この漸化式は $\{ b_n \}$ が等比数列であることを表しており, 一般項を導出できる。$$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$$
$a_1 = 3$ より $b_1 = a_1 - 1 = 3 -1 = 2$.
$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ より, $a_n - 1 = 2^n$ だから $$a_n = 2^n+1$$ である。
