$a^n+b^n+c^n$ の変形【3変数の対称式の漸化式】
任意の数 $a, b$ および自然数 $n$ について, 次の等式が成り立つ。 $$ \begin{aligned} &a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3} \\ &\phantom{aa} = (a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2}) \\ &\phantom{aaaa} - (ab+bc+ca)(a^{n+1} + b^{n+1} + c^{n+1}) \\ &\phantom{aaaa} + abc(a^{n} + b^{n} + c^{n}) \end{aligned} $$
$S(n) = a^n + b^n + c^n$ とおき, 右辺を展開して整理し, 左辺 $S(n+3)$ を導く。
$(a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2})$ を展開すると： $$ \begin{aligned} &a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3} \\ &+ ab^{n+2} + ac^{n+2} + ba^{n+2} + bc^{n+2} + ca^{n+2} + cb^{n+2} \quad \cdots ① \end{aligned} $$
$-(ab+bc+ca)(a^{n+1} + b^{n+1} + c^{n+1})$ を展開すると： $$ \begin{aligned} &- (ab^{n+2} + ac^{n+2} + ba^{n+2} + bc^{n+2} + ca^{n+2} + cb^{n+2}) \\ &- (abc^{n+1} + bca^{n+1} + cab^{n+1}) \quad \cdots ② \end{aligned} $$
$abc(a^n + b^n + c^n)$ を展開すると： $$ abc^{n+1} + bca^{n+1} + cab^{n+1} \quad \cdots ③ $$
①, ②, ③をすべて足し合わせると, $a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$ 以外の項はすべて相殺される。 $$ \begin{aligned} &\text{右辺の和} \\ &= (a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}) \\ &\quad + (\text{①の下段}) + (\text{②の上段}) \leftarrow \text{和は } 0 \\ &\quad + (\text{②の下段}) + (\text{③}) \phantom{aaaaaa} \leftarrow \text{和は } 0 \\[8pt] &= a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3} \end{aligned} $$
ゆえに, 次の等式が成り立つ。 $$ \begin{aligned} &a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3} \\ &= (a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2}) \\ &\quad - (ab+bc+ca)(a^{n+1} + b^{n+1} + c^{n+1}) \\ &\quad + abc(a^n + b^n + c^n) \end{aligned} $$
例えば, $a^4 + b^4+c^4$ $=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$ $- (ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)$ $+ abc(a+b+c)$ と変形できます。
