$a^n+b^n+c^n$ の変形【3変数の対称式の漸化式】
式の変形
$a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$ $= (a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2})$ $- (ab+bc+ca)(a^{n+1} + b^{n+1} + c^{n+1})$ $+ abc(a^{n} + b^{n} + c^{n})$
漸化式
$S(n) = a^n+b^n+c^n$ と置く.
$S(n+3)$ $= (a+b+c)S(n+2)$ $- (ab+bc+ca)S(n+1)$ $+ abcS(n)$
$a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$ を変形する仕方を理解してみよう。
例えば, $a^4 + b^4+c^4$ $=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$ $- (ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)$ $+ abc(a+b+c)$ と変形できます。
解説.
右辺の式 $(a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2})$ $- (ab+bc+ca)(a^{n+1} + b^{n+1} + c^{n+1})$ $+ abc(a^{n} + b^{n} + c^{n})$ を変形して, 左辺を導く.
右辺の第1項目 $(a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2}+c^{n+2})$ を展開すると, $$a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$$ と
$$ab^{n+2} + ac^{n+2} + ba^{n+2} + bc^{n+2} + ca^{n+2} + cb^{n+2}$$
となる.
右辺の第2項目 $-(ab+bc+ca)(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})$ を展開すると,
$$-ba^{n+2} -ab^{n+2} -cb^{n+2}- bc^{n+2}-ca^{n+2}-ac^{n+2}$$
と
$$-abc^{n+1} - bca^{n+1} - cab^{n+1}$$
となる.
右辺の第3項目 $abc(a^{n} + b^{n} + c^{n})$ を展開すると,
$$bca^{n+1} + cab^{n+1} + abc^{n+1}$$
となる. これらの項をすべて足し合わせると, 示すべき等式の左辺 $a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$ に一致する.
ゆえに,
$a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$ $= (a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2})$ $- (ab+bc+ca)(a^{n+1} + b^{n+1} + c^{n+1})$ $+ abc(a^{n} + b^{n} + c^{n})$
が成り立つ.
