$a^n+b^n$ の変形【対称式の漸化式】
$a^n + b^{n}$ の変形する仕方, 基本対称式で表す漸化式を理解してみよう。
式の変形
$a^{n+2} + b^{n+2}$ $= (a+b)(a^{n+1}+b^{n+1}) - ab(a^{n} + b^{n})$
漸化式
$S(n)=a^{n} + b^{n}$ とすると, 次が成り立つ:
$$S(n+2) = (a+b)S(n+1) - abS(n)$$
解説.
右辺を変形して, 左辺を導く.
右辺の第1項目 $(a+b)(a^{n+1} + b^{n+1})$ を展開すると, $$a^{n+2} + b^{n+2} + ab^{n+1} + ba^{n+1}$$ となる.
右辺の第2項目 $-ab(a^n+b^n)$ を展開すると, $$-ba^{n+1} - ab^{n+1}$$ となる.
これらの和を求めると, $a^{n+2} + b^{n+2}$ となる.
ゆえに,
$a^{n+2} + b^{n+2}$ $= (a+b)(a^{n+1}+b^{n+1}) - ab(a^{n} + b^{n})$
が成り立つ.
e.g. 変形の観察。
例えば,
$a^3 + b^3$
は
$(a+b)(a^2+b^2)$ $- ab(a+b)$
と等しいです。
