$a^n+b^n$ の変形【対称式の漸化式】
任意の数 $a, b$ および自然数 $n$ について, 次の等式が成り立つ。 $$ a^{n+2} + b^{n+2} = (a+b)(a^{n+1}+b^{n+1}) - ab(a^n + b^n) $$
右辺を展開して整理し, 左辺 $a^{n+2} + b^{n+2}$ を導く。
まず, 右辺の第1項を展開すると次のようになる。 $$ \begin{aligned} (a+b)(a^{n+1} + b^{n+1}) &= a \cdot a^{n+1} + a \cdot b^{n+1} + b \cdot a^{n+1} + b \cdot b^{n+1} \\[5pt] &= a^{n+2} + ab^{n+1} + ba^{n+1} + b^{n+2} \end{aligned} $$ 次に, 右辺の第2項を展開すると次のようになる。 $$ -ab(a^n + b^n) = -ba^{n+1} - ab^{n+1} $$
これらを足し合わせると, $ab^{n+1}$ と $ba^{n+1}$ の項が相殺される。 $$ \begin{aligned} &\phantom{=} (a^{n+2} + \underline{ab^{n+1} + ba^{n+1}} + b^{n+2}) + (\underline{-ba^{n+1} - ab^{n+1}}) \\[8pt] &= a^{n+2} + b^{n+2} \end{aligned} $$
計算の結果, 右辺と左辺が一致したため, 次の等式が成り立つ。 $$ a^{n+2} + b^{n+2} = (a+b)(a^{n+1} + b^{n+1}) - ab(a^n + b^n) $$
