数列の和 $S_n$ を含む漸化式の一般項を求める
数列 $\{a_n\}$ とその和 $S_n$ を含む漸化式については, 関係式 $$ \begin{array}{ccl} a_{n+1} &= &S_{n+1} - S_n, \\ a_1 &= & S_1 \end{array} $$ を利用して, $\{a_n\}$ だけの漸化式を作り一般項を導く.
例題：$a_{n+1} - a_n = S_n, \quad a_1 = 2$ の一般項を求めよ。
漸化式 $a_{n+1} - a_n =S_n$ から, $a_{n+2} - a_{n+1}=S_{n+1}$ が得られる。
これらを関係式 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ に対応させると,
$$a_{n+1}=(a_{n+2} - a_{n+1})-(a_{n+1} - a_n)$$
となり, 数列 $\{a_n\}$ のみの漸化式
$$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$$
が得られる。
$a_1 = 2$ である。また、$S_1 = a_1 = 2$ であるから, 元の漸化式に $n=1$ を代入して： $$ \begin{aligned} a_2 - a_1 &= S_1 \\ a_2 - 2 &= 2 \\ a_2 &= 4 \end{aligned} $$
①の特性方程式 $x^2 = 3x - 1$ すなわち $x^2 - 3x + 1 = 0$ を解くと： $$ x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} $$ 初期条件 $a_1 = 2, a_2 = 4$ を用いて一般項を求めると（計算省略）： $$ a_n = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \left(1 + \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n $$ を得る。
