数列の和 $S_n$ を含む漸化式の一般項を求める

解法. 漸化式 $a_{n+1} - a_n =S_n$, $a_1=2$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} - a_n =S_n$ から, $a_{n+2} - a_{n+1}=S_{n+1}$ が得られる.

これらを関係式 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ に対応させると,

$a_{n+1}$ $=(a_{n+2} - a_{n+1})$ $-(a_{n+1} - a_n)$

となり, 数列 $\{a_n\}$ のみの漸化式

$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$

が得られる.

この三項間漸化式を解くと,

$a_n$ $\displaystyle =\left(1 -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^n$ $\displaystyle + \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^n$

となる.